Bài tập 7.40 trang 65 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, $BC = a$ và $\widehat{CAB} = 30^\circ$. Biết $SA \perp (ABC)$ và $SA = a\sqrt {2}$.
a) Chứng minh rằng $(SBC) \perp (SAB)$.
b) Tính theo a khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $SC$ và khoảng cách từ điểm $A $đến mặt phẳng $(SBC)$.
Bài Làm:
a) Ta có $SA \perp (ABC)$ nên $(SAB) \perp (ABC)$. Mặt khác, $AB \perp BC$ nên $(SAB) \perp (SBC)$. Từ đó suy ra $(SBC) \perp (SAB)$.
b) Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SC$.
Do $SA \perp (ABC)$ nên $AH \perp BC$.
Vậy $AH$ là đường cao của tam giác vuông $ABC$, nên $AH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Ta có $SC = \sqrt{SA^2 - AC^2} = a$ (vì $AC = 2AB = 2\cdot\frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{2a\sqrt{3}}{3}$).
$SB = AB = \frac{a}{\sqrt{3}}$, $SC = a$
$BC = a\sqrt{2}$, $\widehat{BSC} = 90^\circ$
Vậy diện tích của tam giác $SBC$ là $S_{SBC} = \frac{1}{2} \cdot SB \cdot SC = \frac{a^2}{2\sqrt{3}}$.
Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ là $\frac{S_{SBC}}{BC} = \frac{a}{2\sqrt{6}}$.