Bài tập 7.39 trang 65 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho tứ diện $ABCD$ có tam giác $ABC$ cân tại $A$, tam giác $BCD$ cân tại $D$. Gọi I là trung điểm của cạnh $BC$.
a) Chứng minh rằng $BC \perp (AID)$.
b) Kẻ đường cao $AH$ của tam giác $AID$. Chứng minh rằng $AH \perp (BCD)$.
c) Kẻ đường cao $IJ$ của tam giác $AID$. Chứng minh rằng $IJ$ là đường vuông góc chung của $AD$ và $BC$.
Bài Làm:
a) Ta có $AB=AC$, $BC=BD$ nên tam giác $ABD$ cân tại $B$. Suy ra $BD$ là đường trung trực của $AC$ và $BD\perp AC$.
Gọi $M$ là trung điểm của $AD$. Khi đó, ta có $IM // BD$ và $IM=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}BC$ (do $I$ là trung điểm của $BC$).
Suy ra tam giác $AIM$ cân tại $A$ và $AI \perp IM$. Như vậy, $AI$ là đường cao của tam giác $AIM$, từ đó $AI \perp BC$.
Do đó, ta có $BC\perp (AID)$.
b) Gọi $H$ là giao điểm của $AI$ và $BD$. Khi đó, ta có $AH \perp BD$ (do $H$ thuộc $AI$), $BD \perp AC$ và $AC\perp AI$ (vì tam giác $ABC$ cân tại $A$).
Suy ra $AH // AC$ và $AH\perp BCD$.
c) Gọi $J$ là trung điểm của $ID$. Khi đó, ta có $IJ // AD$ và $IJ=\frac{1}{2}AD$ (do $I$ là trung điểm của $BC$ và $BC // AD$).
Ta có $AI\perp BC$, $ID \perp BC$, suy ra $AI // ID$. Như vậy, tam giác $AIM$ và $DID$ đồng dạng, từ đó ta có $\frac{IJ}{IM}=\frac{ID}{AI}$.
Như vậy, $\frac{IJ}{AD}=\frac{1}{2}\frac{ID}{AI}=\frac{1}{2}\frac{ID}{IM}$. Do đó, $IJ$ là đường vuông góc chung của $AD$ và $BC$.