7.17. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(–3; 0), B(1; –2) và đường thẳng d: x + y – 1 = 0.
a) Chứng minh rằng hai điểm A và B nằm cùng phía so với đường thẳng d.
b) Điểm M thay đổi trên đường thẳng d. Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác ABM.
Bài Làm:
a) Ta có $(–3 + 0 – 1)\times (1 – 2 – 1) = 8 > 0$ nên theo tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn ta có A, B nằm cùng phía so với đường thẳng d.
b) Dựa vào phương trình đường thẳng d ta có:
x + y – 1 = 0
⇔ y = 1 – x
Do M thuộc đường thẳng d nên toạ độ của điểm M có dạng M(t; 1– t).
Chu vi tam giác ABM là: AB + MA + MB
Mà AB luôn không đổi nên chu vi tam giác ABM nhỏ nhất khi và chỉ khi MA + MB nhỏ nhất.
Lấy A’ đối xứng với A qua đường thẳng d. Khi đó ta có:
MA + MB = MA’ + MB ≥ A’B
Dấu bằng xảy ra khi M = A’B ∩ d
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên d. Khi đó AH đi qua điểm A(–3;0) và nhận vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$=(1;−1) của đường thẳng d là vectơ pháp tuyến nên phương trình của AH là:
1(x + 3) – 1(y – 0) = 0
⇔ x – y + 3 = 0
Vậy toạ độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix}x+y-1=0\\ x-y+3=0\end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix}x+y=1\\ x-y=-3\end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix}x=-1\\ y=2\end{matrix}\right.$
Suy ra H(–1; 2). Mặt khác, H là trung điểm của AA’ nên ta có:
$xH = (xA + xA’) : 2 ⇔ xA’ = 2xH – xA = 2\times (–1) – (–3) = 1$
$yH = (yA + yA’) : 2 ⇔ yA’ = 2yH – yA = 2\times 2 – 0 = 4$
Do đó, ta có A’(1; 4)
Ta có $\overrightarrow{A'B}$=(0;−6) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng A’B. Do đó A’B là đường thẳng đi qua đểm A’(1; 4) và nhận $\overrightarrow{n}$=(1;0) là một vectơ pháp tuyến. Phương trình của đường thẳng A’B là:
1(x – 1) + 0(y – 4) = 0
⇔ x – 1 = 0
Vậy toạ độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix}x+y-1=0\\ x-1=0\end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix}1+y-1=0\\ x=1\end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix}x=1\\ y=0\end{matrix}\right.$
Do đó ta có M(1; 0).