5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét phép biến hình $h$ biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M'(x; y), trong đó:
$\begin{cases}x'& = \frac{\sqrt{2}}{2}x-\frac{\sqrt{2}}{2}y\\y'& = \frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y\end{cases}$
Hãy chứng minh $h$ là một phép dời hình.
Bài Làm:
Ta có: OM = $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$
OM' = $\sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{2}x-\frac{\sqrt{2}}{2}y)^{2}+(\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y)^{2}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$
Do đó: OM = OM'
Mà M' = $h$(M)
Nên $h$ là một phép dời hình.
Trong: Giải chuyên đề Toán 11 chân trời sáng tạo bài 1 Phép biến hình và phép dời hình
Hoạt động khám phá 1: Trong mặt phẳng, cho đường thẳng d và điểm M. Gọi M' là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng d.
Vẽ ba điểm A, B, C tùy ý và tìm hình chiếu vuông góc A', B', C' của chúng trên d.
Thực hành 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ứng mỗi điểm M(x; y) quy tắc $f$ xác định điểm M'(3x; 3y). Hãy cho biết $f$ có phải là phép biến hình không. Nếu có, tìm ảnh của điểm A(-1; 2) qua $f$.
Hoạt động khám phá 2: Khi một ô tô dời chỗ đậu từ vị trí M đến M', khoảng cách giữa hai trục bánh xe có thay đổi không?
Thực hành 2: Cho điểm O trong mặt phẳng. Ta định nghĩa một phép biến hình h như sau: Với mỗi điểm M khác O chọn M' = h(M) sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng MM' (Hình 6), còn với M trùng với O thì ta chọn O = h(M). Chứng minh h là một phép dời hình.
Vận dụng: Một người đã vẽ xong bức tranh một con thiên nga đang bơi trên mặt hồ (đường thẳng d) (Hình 7a). Người đó muốn vẽ bóng của con thiên nga đó xuống mặt nước (như Hình 7b) bằng cách gấp tờ giấy theo đường thẳng d và đồ theo hình con thiên nga trên nửa tờ giấy còn lại. Chứng tỏ rằng đây là một phép dời hình.
Hoạt động khám phá 3: Trong mỗi trường hợp dưới đây, cho $f$ là một phép dời hình.
a) Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự (B nằm giữa A và C). Gọi A', B', C' lần lượt là ảnh của A, B, C qua $f$ (Hình 8a). Có nhận xét gì về vị trí tương đối của ba điểm A', B', C'?
b) Cho hai đường thẳng song song $d_{1}$ và $d_{2}$, lấy hai đoạn thẳng bằng nhau AB và DC lần lượt trên $d_{1}$ và $d_{2}$. Gọi $d'_{1}$, $d'_{2}$ lần lượt là ảnh của $d_{1}$, $d_{2}$ và A', B', C', D' lần lượt là ảnh của A, B, C, D qua $f$ (Hình 8b). Tứ giác A'B'C'D' là hình gì? Nêu nhận xét về vị trí tương đối của hai đường thẳng $d'_{1}$, $d'_{2}$.
c) Cho A'B'C' là ảnh của tam giác ABC qua $f$ (Hình 8c). So sánh $\triangle $A'B'C' và $\triangle $ABC. So sánh số đo hai góc $\widehat{BAC}$ và $\widehat{B'A'C'}$.
Thực hành 3: Gọi A'B'C'D' là ảnh của hình chữ nhật ABCD qua phép biến hình được diễn tả trong Vận dụng. Hãy cho biết A'B'C'D' là hình gì. Giải thích.
1. Cho đường thẳng d đi qua tâm O của đường tròn (C) và cắt (C) tại A và B. Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép chiếu vuông góc lên d.
2. Cho đường thẳng d cố định, xét phép biến hình $f$ biến điểm M thuộc d thành chính nó và biến điểm M không thuộc d thành điểm M' sao cho d là trung trực của đoạn MM'. Hãy chứng minh $f$ là một phép dời hình.
3. Cho phép dời hình $f$ biến hình vuông H có cạnh bằng 2 cm thành hình vuông H'. Tìm diện tích của H'.
4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét các phép biến hình sau đây:
- Phép biến hình $f$ biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M'(-x; -y);
- Phép biến hình $g$ biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M'(2x; 2y).
Trong hai phép biến hình trên, phép nào là phép dời hình? Giải thích.
Xem thêm các bài Giải chuyên đề toán 11 chân trời sáng tạo được biên soạn cho Học kì 1 & Học kì 2 theo mẫu chuẩn của Bộ Giáo dục theo sát chương trình Lớp 11 giúp bạn học tốt hơn.
Giải bài tập SGK, SBT, VBT và Trắc nghiệm các môn học Lớp 11, dưới đây là mục lục các bài giải bài tập sách giáo khoa và Đề thi chi tiết với câu hỏi bài tập, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và 2 (đề kiểm tra học kì 1 và 2) các môn trong chương trình Lớp 11 giúp bạn học tốt hơn.