Bài tập 4.14. Cho tam giác OAB vuông cân, với OA = OB = a. Hãy xác định độ dài của các vectơ sau $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB}$, $2\overrightarrow{OA} - 3\overrightarrow{OB}$
Bài Làm:
Trả lời:
a)
Theo quy tắc hình bình hành có $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC}$ với C là đỉnh thứ tư của hình bình hành OACB dựng trên hai cạnh OA và OB
Do tam giác OAB vuông cân tại O nên OACB là hình bình hành vuông
Khi đó ta có:
$|\overrightarrow{OC}| = OC = \sqrt{OA^{2} + OB^{2}} = a\sqrt{2}$
b) Theo quy tắc ba điềm ta có: $\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA}$
Tam giác OAB vuon cân tại O nên ta có: $|\overrightarrow{BA}| = AB = a\sqrt{2}$
c)
Lấy điểm D đối xứng với O qua B. Khi đó $\overrightarrow{OD} = 2\overrightarrow{OB}$
Theo quy tắc hình bình hành ta có:
$\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OE}$ với E là đỉnh thứ tư của hình bình hành OAED dựng trên hai cạnh OA, OD
Tam giác OAB vuông cân tại O nên OAED là hình chữ nhật với OA = a, OD =2a
Suy ra |$\overrightarrow{OE}$| = OE = $\sqrt{OA^{2} + OD^{2}} = a\sqrt{5}$
d)
Lấy F đối xứng B qua D và G đối xứng O qua A
Khi đó $\overrightarrow{OG} = 2\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OF} = 3\overrightarrow{OB}$
Suy ra $2\overrightarrow{OA} - 3\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OG} - \overrightarrow{OF} = \overrightarrow{FG}$ (1)
Dưng các điềm F, G và có tam giác OFG vuông tại O nên OG = 2OA = 2a, OF = 3OB = 3a
Kết hợp với (1) suy ra |$2\overrightarrow{OA} - 3\overrightarrow{OB}$| = |$\overrightarrow{FG}$| = FG = $\sqrt{OF^{2} + OG^{2}} = a\sqrt{13}$