15. Chuyển động của một vật thể trong khoảng thời gian 180 phút được thể hiện trong mặt phẳng toạ độ. Theo đó, tại thời điểm t (0 ≤ t ≤ 180), vật thể có vị trí toạ độ (4cos t°; 3sin t°).
a) Tìm vị trí ban đầu và vị trí kết thúc của vật thể.
b) Tìm quỹ đạo chuyển động của vật thể.
Bài Làm:
a) Vị trí ban đầu của vật thể ứng với t = 0, suy ra vật thể ở vị trí có tọa độ là A1(4; 0) (do 4cos 0° = 4 và 3sin 0° = 0).
Vị trí kết thúc của vật thể ứng với t = 180, suy ra vật thể ở vị trí có tọa độ là A2(– 4; 0) (do 4cos 180° = – 4 và 3sin 180° = 0).
b) Vì vật thể có vị trí toạ độ (4cos t°; 3sin t°).
Do đó, với một điểm M bất kì thuộc quỹ đạo chuyển động của vật thể ta có:
xM = 4cos t°, yM = 3sin t°.
Khi đó từ đẳng thức: $sin^{2} t° + cos^{2} t° = 1$ hay $(sin t°)^{2} + (cos t°)^{2} = 1$, ta suy ra:
$(\frac{yM}{3})^{2}+(\frac{xM}{4})^{2}=1<=> \frac{x_{M}^{2}}{16}+\frac{y_{M}^{2}}{9}=1$
Do đó, vật thể chuyển động trên đường elip (E) có phương trình $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$
Khi t thay đổi trên đoạn [0; 180] thì sin t° thay đổi trên đoạn [0; 1] và cos t° thay đổi trên đoạn [– 1; 1]. Do đó, 4cos t° ∈ [– 4; 4] và 3sin t° ∈ [0; 3].
Vậy quỹ đạo vật thể (hay là tập hợp điểm M) là nửa đường elip (E) nằm trên trục hoành.