Bài tập 14 trang 92 SBT toán 8 tập 1 cánh diều:
Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm M, N lần lượt trên cạnh AB, AC sao cho AM = AN.
a) Chứng minh tứ giác BMNC là hình thang cân.
b) Xác định vị trí các điểm M, N để BM = MN = NC.
Bài Làm:
a) Vì hai tam giác AMN và ABC đều cân tại A nên
$\widehat{AMN}=\widehat{ABC}$ (cùng bằng $\frac{180^{o}-\widehat{A}}{2}$).
Mà $\widehat{AMN}$ và $\widehat{ABC}$ nằm ở vị trí đồng vị => MN // BC.
Tứ giác BMNC có MN // BC và $\widehat{MBC}=\widehat{NCB}$ nên BMNC là hình thang cân.
b) Do BM = MN nên tam giác MBN cân tại M
=> $\widehat{MNB}=\widehat{MBN}$ (hai góc so le trong)
=> $\widehat{MBN}=\widehat{NBC}$
Do đó, BN là tia phân giác của góc ABC.
Tương tự, ta cũng chứng minh được CM là tia phân giác của góc ACB.
Dễ thấy, nếu các điểm M, N được xác định sao cho BN, CM lần lượt là tia phân giác của góc ABC, ACB thì BN = MN = CN.
Vậy M là giao điểm của AB và tia phân giác của góc ACB, N là giao điểm của AC và tia phân giác của góc ABC thì BN = MN = CN.
