Bài tập 12 trang 92 SBT toán 8 tập 1 cánh diều:
Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, AB < CD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại P, hai cạnh bên AD và BC kéo dài cắt nhau tại Q. Chứng minh PQ là đường trung trực của hai đáy hình thang cân ABCD.
Bài Làm:
∆ACD = ∆BDC (c.g.c). Suy ra $\widehat{PCD}=\widehat{PDC}$.
Do đó, tam giác PCD cân tại P. Suy ra PC = PD.
Mà AC = BD, suy ra PA = PB.
Do AB // CD nên $\widehat{QAB}=\widehat{ADC}$; $\widehat{QBA}=\widehat{BCD}$ (các cặp góc đồng vị).
Mặt khác, $\widehat{ADC}=\widehat{BCD}$ nên $\widehat{QAB}=\widehat{QBA}$.
Do đó, tam giác QAB cân tại Q. Suy ra QA = QB.
Mà AD = BC, suy ra QD = QC.
Ta có: PA = PB, PC = PD và QA = QB, QC = QD nên PQ là đường trung trực của cả hai đoạn thẳng AB và CD.
