4.47. Cho tam giác ABH vuông tại đỉnh H có $\widehat{ABH}=60^{\circ}$. Trên tia đối của tia HB lấy điểm C sao cho HB = HC (H.4.52). Chứng minh rằng ∆ABC là tam giác đều và BH =$\frac{AB}{2}$
Bài Làm:
+ Xét tam giác vuông ABH và tam giác vuông ACH có:
AH: cạnh chung
HB = HC (gt)
Do đó, $\Delta ABH = \Delta ACH$ (hai cạnh góc vuông).
Suy ra AB = AC. (1)
Do đó, tam giác ABC cân tại đỉnh A.
$=>\widehat{C}=\widehat{B}=\widehat{ABH}=60^{\circ}$
Ta có: $\widehat{BAC}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$ (định lí tổng ba góc trong tam giác).
Suy ra $\widehat{BAC}=180^{\circ}-\widehat{B}-\widehat{C}=180^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}$
Khi đó $\widehat{B}=\widehat{BAC}$, do đó tam giác ABC cân tại đỉnh C nên AC = BC. (2)
Từ (1) và (2) suy ra AB = AC = BC.
Do đó, $\Delta $ABC đều.
+ Vì H thuộc BC và điểm H nằm giữa điểm B và điểm C, hơn nữa HB = HC, do đó H là trung điểm của BC.
Suy ra BH=$\frac{BC}{2}$
Mà BC = AB (chứng minh trên).
Vậy BH = $\frac{AB}{2}$
