4.46. Cho các điểm A, B, C, D, E như hình 4.51. Chứng minh rằng:
a) $\Delta AEB$ và $\Delta DEC$ là các tam giác cân đỉnh E.
b) AB//CD
Bài Làm:
a) Xét tam giác vuông ADB và tam giác vuông BCA có:
AB: cạnh huyền chung
AD = CB (gt)
Do đó, $\Delta ADB = \Delta BCA $(cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra $\widehat{DBA}=\widehat{CAB}$ hay $\widehat{EBA}=\widehat{EAB}$.
Khi đó tam giác EAB cân tại đỉnh E.
Xét tam giác vuông ADE và tam giác vuông BCE có:
AD = CB (gt)
EA = EB ($\Delta EAB$ cân tại đỉnh E)
Do đó, $\Delta ADE = \Delta BCE$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra ED = EC.
Do đó, tam giác EDC cân tại đỉnh E.
b) Theo định lí tổng 3 góc trong tam giác EAB, ta có:
$\widehat{EBA}+\widehat{AEB}+\widehat{AEB}=180$
Mà $\widehat{EBA}=\widehat{EAB}$ (chứng minh trên)
Suy ra $\widehat{EBA}=\frac{180-\widehat{AEB}}{2}$ (1)
Theo định lí tổng 3 góc trong tam giác EDC, ta có:
$\widehat{EDC}+\widehat{ECD}+\widehat{DEC}=180$
Mà $\widehat{EDC}=\widehat{ECD}$ ($\Delta $ECD cân tại đỉnh E).
Suy ra $\widehat{EDC}=\frac{180-\widehat{DEC}}{2}$ (2)
Ta lại có: $\widehat{AEB}=\widehat{DEC}$ (hai góc đối đỉnh). (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra $\widehat{EBA}=\widehat{EDC}$, hay $\widehat{DBA}=\widehat{BDC}$
Mà hai góc này ở vị trí so le trong.
Vậy AB // DC.
