4.44. Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh A. Gọi M là trung điểm của BC và D là điểm nằm trên tia đối của tia MA sao cho MD = MA (H.4.49). Chứng minh rằng:
a) Tam giác ABD vuông tại B.
b)$ \Delta ABD=\Delta BAC$
c) Các tam giác AMB, AMC là các tam giác cân tại đỉnh M.
Bài Làm:
a)Xét tam giác AMC và tam giác DMB có:
MA = MD (gt)
MB = MC (M là trung điểm của BC)
$\widehat{AMC}=\widehat{DMB}$ (hai góc đối đỉnh)
Do đó, $\Delta AMC = \Delta DMB$ (c . g . c).
Suy ra $\widehat{DBM}=\widehat{ACM}$ (hai góc tương ứng).
Do tam giác ABC vuông tại A nên $\widehat{ABC}+\widehat{ACM}=\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^{\circ}$
Khi đó, ta có: $\widehat{ABD}=\widehat{ABC}+\widehat{CBD}=\widehat{ABC}+\widehat{DBM}=\widehat{ABC}+\widehat{ACM}=90^{\circ}$
Suy ra $\widehat{ACM}=90^{\circ}$
Vậy tam giác ABD vuông tại B.
b)Xét tam giác vuông ABD và tam giác vuông BAC có:
BD = AC (do $\Delta AMC = \Delta DMB$)
AB cạnh chung
Do đó, $\Delta ABD = \Delta BAC$ (hai cạnh góc vuông).
c) Do tam giác ABC vuông tại A nên AC $\perp$ AB tại A.
Tam giác ABD vuông tại B nên DB $ \perp$AB tại B.
Suy ra AC // DB (do cùng vuông góc với AB).
=> $\widehat{BDA}=\widehat{CAD}$ (hai góc so le trong).
Lại có: $\widehat{ACB}=\widehat{BDA}$ (do $\Delta ABD = \Delta BAC$).
Do đó, $\widehat{CAD}=\widehat{ACB}$, hay $\widehat{CAM}=\widehat{ACM}$.
Suy ra tam giác AMC cân tại đỉnh M.
Khi đó MA = MC.
Mà MB = MC (do M là trung điểm của BC).
Nên MA = MB = MC.
Do đó, tam giác AMB cân tại đỉnh M.
