Bài Làm:
Lời giải chi tiết :
Đề ra :
Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong ( O,R ) .Trên cạnh AB và AC lấy hai điểm M, N sao cho BM = AN .
a. Chứng tỏ : $\triangle OMN$ cân .
b. Chứng minh : OMAN nội tiếp .
c. BO kéo dài cắt AC tại D và cắt (O) tại E. Chứng minh : $BC^{2}+DC^{2}=3R^{2}$ .
d. Đường thẳng CE và AB cắt nhau tại F. Tiếp tuyến tại A của (O) cắt FC tại I . AO kéo dài cắt BC tại J . Chứng minh : BI đi qua trung điểm của AJ .
Hướng dẫn giải :
a.
Do $\triangle ABC$ là tam giác đều nội tiếp trong (O)
=> AO và BO là phân giác của $\triangle ABC$ .
=> $\widehat{OAN}=\widehat{OBM}=30^{\circ}$
Mặt khác : $\left\{\begin{matrix}OA = OB = R & \\ BM=AN & \end{matrix}\right.$
=> $\triangle OMB=\triangle ONA=> OM=ON$
=> $\triangle OMN$ cân . ( đpcm )
b.
Do : $\triangle OMB=\triangle ONA=>\widehat{BMO}=\widehat{ANO}$
Mà : $\widehat{BMO}+\widehat{AMO}=180^{\circ}$
=> $\widehat{ANO}+\widehat{AMO}=180^{\circ}$
=> Tứ giác OMAN nội tiếp . ( đpcm )
c.
Do BO là phân giác của $\triangle ABC$ đều => $BO\perp AC$
=> $\triangle BOD$ vuông tại D .
Áp dụng hệ thức Py-ta-go , ta có : $BC^{2}=DB^{2}+CD^{2}=(B0+OD)^{2}+CD^{2}$
<=> $BC^{2}=BO^{2}+2OB.OD+OD^{2}+CD^{2} (1)$
Mà : OB = R
Xét $\triangle AOC$ cân tại O , có : $\widehat{OAC}=30^{\circ}$
=> $\widehat{AOC}=120^{\circ}$
=> $\widehat{AOE}=60^{\circ}$
=> $\triangle AOE$ là tam giác đều => $AD\perp OE=> OD=ED=\frac{R}{2}$
Áp dụng Py-ta-go , ta có : $OD^{2}=OC^{2}-CD^{2}=R^{2}-CD^{2}$ (2)
Từ (1), (2) => $BC^{2}+CD^{2}=R^{2}+2R.\frac{R}{2}+CD^{2}-CD^{2}=3R^{2}$
Vậy $BC^{2}+CD^{2}=3R^{2}$ ( đpcm )
d.
Gọi K là giao điểm của BI và AJ .
Ta có :
- $\widehat{BCE}=90^{\circ}$ ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )
- $\widehat{B}=60^{\circ}$
- $\widehat{BFC}=30^{\circ}$
=> $BC=\frac{1}{2}BF$
Do : $\left\{\begin{matrix}AO\perp AI & \\ AJ\perp BC & \end{matrix}\right.$
=> AI // BC .
Mà A là trung điểm BF => I là trung điểm CF .
<=> FI = IC . (*)
+ Vì AK // FI . Áp dụng hệ quả định lý Talet trong tam giác BFI , ta có : $\frac{AK}{EI}=\frac{BK}{BI}$
+ Vì KJ // CI . Áp dụng hệ quả định lý Talet trong tam giác BIC , ta có : $\frac{KJ}{CJ}=\frac{BK}{BI}$
=> $\frac{AK}{FI}=\frac{KJ}{CI}$
Từ (*) => AK = KJ . ( đpcm )
Vậy BI đi qua trung điểm của AJ .