Bài Làm:
Lời giải chi tiết :
Đề ra :
Cho đường tròn ( O), đường kính BC , A nằm trên cung BC . Trên tia AC lấy điểm D sao cho AB = AD .Dựng hình vuông ABED , AE cắt (O ) tại điểm thứ hai F . Tiếp tuyến tại B cắt đường thẳng DE tại G .
a. Chứng minh : BGDC nội tiếp .Xác định tâm I của đường tròn này .
b. Chứng minh : Tam giác BFC vuông cân và F là tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle BCD$ .
c. Chứng minh : GEFB nội tiếp .
d. Chứng minh : C, F , G thẳng hàng và G cũng nằm trên đường tròn ngoại tiếp $\triangle BCD$ .
Hướng dẫn giải :
a.
Ta có : $\widehat{CBG}=\widehat{CDG}=90^{\circ}$
=> $\widehat{CBG}+\widehat{CDG}=180^{\circ}$
Và : IG = IC .
=> Tứ giác BGDC nội tiếp . ( đpcm )
b.
Ta có :
$\widehat{BCF}=\widehat{FBA}$ ( cùng chắn cung BF )
Mà : $\widehat{FBA}=45^{\circ}=> \widehat{BCF}=45^{\circ}$
Và : $\widehat{BFC}=90^{\circ}$ ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )
=> Tam giác BFC vuông cân . ( đpcm )
Vì $\triangle BFC$ vuông cân => BC = FC . (1)
Xét $\triangle FEB$ và $\triangle FED$ , ta có :
EF chung
$\widehat{BEF}=\widehat{FED}=45^{\circ}$
BE = ED ( cạnh hình vuông ABED )
=> $\triangle FEB= \triangle FED$ ( c-g-c )
=> BF = FD (2)
Từ (1) , (2) => BF = FC = FD .
c.
Vì Tam giác BFC vuông cân ( c/m trên ) => cung BF = cung FC = $90^{\circ}$
=> sđ $\widehat{GBF}$ = $\frac{1}{2}$ sđ cung BF = $\frac{1}{2}.90^{\circ}=45^{\circ}$
Mà : $\widehat{FED}=45^{\circ}$
=> $\widehat{FED}=\widehat{GBF}=45^{\circ}$
Mặt khác , ta có : $\widehat{FED}+\widehat{FEG}=180^{\circ}$
=> $\widehat{GBF}+\widehat{FEG}=180^{\circ}$
=> Tứ giác GEFB nội tiếp . ( đpcm )
d.
Do tứ giác GEFB nội tiếp => $\widehat{BFG}=\widehat{BEG}$
Mà : $\widehat{BEG}=90^{\circ}=> \widehat{BFG}=90^{\circ}$
Mặt khác : $\triangle BFG$ vuông cân tại F => $\widehat{BFC}=90^{\circ}$
=> $\widehat{BFG}+\widehat{CFB}=180^{\circ}$
=> G , F , C thẳng hàng . ( đpcm )
Vì : $\widehat{GBC}+\widehat{GDC}=90^{\circ}$
=> F là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BGDC
=> G nằm trên đường tròn ngoại tiếp $\triangle BCD$. ( đpcm )