Bài Làm:
Lời giải chi tiết :
Đề ra :
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và AB < AC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Kẻ đường cao AD và đường kính AA' .Gọi E, F theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ B, C xuống AA' .
a. Chứng minh : AEDB nội tiếp .
b. Chứng minh : DB. A'A = AD. A'C
c. Chứng minh : $DE\perp AC$ .
d. Gọi M là trung điểm BC . Chứng minh : MD = ME = MF .
Hướng dẫn giải :
a.
Ta có : D , E cùng làm với hai đầu đoạn thẳng AB = 1 góc vuông
Và : $\widehat{AEB}=\widehat{ADB}=90^{\circ}$
=> $\widehat{AEB}+\widehat{ADB}=180^{\circ}$
=> Tứ giác AEBD nội tiếp . ( đpcm )
b.
Xét $\triangle DBA$ và $\triangle A'CA$ , ta có :
- $\widehat{A}$ chung
- $\widehat{ADB}=\widehat{ACA'}$
=> $\triangle DBA \sim \triangle A'CA$
=> $DB.A'A=AD.A'C$ ( đpcm )
c.
Do tứ giác AEBD nội tiếp => $\widehat{EDC}=\widehat{BAE}$ ( cùng bù $\widehat{BDE}$ )
Và : $\widehat{BAE}=\widehat{BCA'}$ ( cùng chắn cung BA' )
=> $\widehat{CDE}=\widehat{DCA'}$
=> DE // A'C .
Ta lại có : $\widehat{ACA'}=90^{\circ}$
=> $DE\perp AC$ . ( đpcm )
d.
+ Gọi N là trung điểm AB => NA = NB .
=> N là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDE .
Do M , N là trung điểm BC và AB => MN // AC
Và : $DE\perp AC$ => $DE\perp MN$ .
=> MN là đường trung trực của DE .
=> ME = MD . (1)
+ Gọi I là trung điểm AC => IA = IC .
=> MI // AB
=> $\widehat{A'BC}=\widehat{A'AC}$ ( cùng chắn cung A'C )
Do ADFC nội tiếp => $\widehat{FAC}=\widehat{FDC}$ ( cùng chắn cung FC )
=> $\widehat{A'BC}=\widehat{FDC}$
=> DF // BA' .
Và : $\widehat{ABA'}=90^{\circ}=> MI\perp DF$
=> MI là đường trung trực của DF .
=> MD = MF . (2)
Từ (1) , (2) => MD = ME = MF . ( đpcm )