Bài Làm:
Lời giải chi tiết :
Đề ra :
Cho ( O ) , đường kính AC .Trên OC lấy điểm B và vẽ đường tròn ( O' ) ,đường kính BC .Gọi M là trung điểm AB .Từ M vẽ dây cung DE vuông góc với AB , DC cắt (O') tại I .
a. Tứ giác ADBE là hình gì ?
b. Chứng minh : DMBI nội tiếp .
c. Chứng minh : B , I , C thẳng hàng và MI = MD .
d. Chứng minh : MC. DB = MI . DC
e. Chứng minh : MI là tiếp tuyến của (O') .
Hướng dẫn giải :
a.
Ta có : $\left\{\begin{matrix}MA=MB & \\ AB\perp DE & \end{matrix}\right.$
=> DM = ME
=> Tứ giác ADBE là hình bình hành .
Mặt khác , ta có : BD = BE ( AB là đường trung trực của DE )
=> Tứ giác ADBE là hình thoi .
b. Ta có :
- BC là đường kính
- $I\in (O')$
=> $\widehat{BID}=90^{\circ}$
Và : $\widehat{DMB}=90^{\circ}$
=> $\widehat{BID}+\widehat{DMB}=180^{\circ}$
=> Tứ giác DMBI nội tiếp . ( đpcm )
c.
Vì AEBD là hình thoi => BE // AD
Mà : $AD\perp DC$ ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )
=> $BE\perp DC$ (1)
Ta có : $\left\{\begin{matrix}BE\perp DC & & \\ CM\perp DE & & \\ \widehat{BIC}=90^{\circ} & & \end{matrix}\right.$
=> $BI\perp DC $ (2)
Từ (1) , (2) => B , I , E thẳng hàng . ( đpcm )
Ta có : $\left\{\begin{matrix}MD=ME & \\ \triangle EID (\widehat{I}=90^{\circ}) & \end{matrix}\right.$
=> MI là đường trung tuyến của tam giác vuông DEI .
=> MI = MD . ( đpcm )
d.
Xét $\triangle MCI$ và $\triangle DCB$ , ta có :
- $\widehat{C}$ chung
- $\widehat{BDI}=\widehat{IMB}$ ( cùng chắn cung MI )
=> $\triangle MCI\sim \triangle DCB$
=> $\frac{MC}{DC}=\frac{MI}{DB}<=> MC.DB=MI.DC$ ( đpcm )
e.
+ Ta có : $\triangle O'IC$ cân => $\widehat{O'IC}=\widehat{O'CI}$
Mặt khác : Tứ giác MBID nội tiếp => $\widehat{MIB}=\widehat{MDB}$ ( cùng chắn cung MB )
+ Ta có: $\triangle BDE$ cân tại B => $\widehat{MDB}=\widehat{MEB}$
Và : Tứ giác MECI nội tiếp => $\widehat{MEB}=\widehat{MCI}$ ( cùng chắn cung MI )
=> $\widehat{O'IC}=\widehat{MIB}$
=> $\widehat{BIO'}+\widehat{MIB}=\widehat{O'IC}+\widehat{BIO'}=90^{\circ}$
=> $MI\perp O'I$ tại I nằm trên đường tròn (O')
Vậy MI là tiếp tuyến của (O') . ( đpcm )