Bài Làm:
Lời giải chi tiết :
Đề ra :
Cho tam giác ABC có các đường cao BD , CE .Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại hai điểm M và N .
a. Chứng minh : BEDC nội tiếp .
b. Chứng minh : $\widehat{DEA}=\widehat{ACB}$ .
c. Chứng minh : DE // với tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác .
d. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Chứng minh OA là phân giác góc $\widehat{MAN}$ .
e. Chứng minh : $AM^{2}=AE.AB$ .
Hướng dẫn giải :
a.
Ta có : $\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^{\circ}$
=> $\widehat{BEC}+\widehat{BDC}=180^{\circ}$
=> Tứ giác BEDC nội tiếp . ( đpcm )
b.
Do BEDC nội tiếp => $\widehat{DMB}+\widehat{DCB}=180^{\circ}$
Mà : $\widehat{DEB}+\widehat{AED}=180^{\circ}$
=> $\widehat{ACB}=\widehat{AED}$ ( đpcm )
c.
Gọi tiếp tuyến tại A của (O) là đường thằng xy
=> xy cũng là đường tiếp tuyến .
Vì AB là dây cung => sđ góc $\widehat{xAB}$ = $\frac{1}{2}$ sđ cung AB .
Mặt khác , ta có : sđ góc $\widehat{ACB}$ = $\frac{1}{2}$ sđ cung AB .
=> $\widehat{xAB}=\widehat{ACB}$
Mà : $\widehat{ACB}=\widehat{AED}$
=> $\widehat{xAB}=\widehat{AED}$ hay xy // DE .
Vậy DE // với tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác . ( đpcm )
d.
Vì : xy // DE => xy // MN
Mà : $OA\perp xy$ => $OA\perp MN$
=> OA là đường trung trực của MN .
=> $\triangle AMN $ cân tại A .
=> AO là phân giác của góc $\widehat{MAN}$ . ( đpcm )
e.
Do : $\triangle AMN $ cân tại A => AM = AN
=> sđ cung AM = sđ cung AN
=> $\widehat{MBA}=\widehat{AMN}$
Và : $\widehat{MAB}$
=> $\triangle MAE\sim \triangle BAM$
=> $\frac{MA}{AB}=\frac{AE}{MA}=> MA^{2}=AE.AB$ ( đpcm )