Bài Làm:
Lời giải chi tiết :
Đề ra :
Cho ( O, R ) và ( I, r ) tiếp xúc ngoài tại A ( R > r ) .Dựng tiếp tuyến chung ngoài BC ( B nằm trên đường tròn tâm O và C nằm trên đường tròn tâm I ) .Tiếp tuyến BC cắt tiếp tuyến tại A của hai đường tròn ở E .
a. Chứng minh : $\triangle ABC$ vuông ở A .
b. OE cắt AB tại N, IE cắt AC tại F . Chứng minh : N, E , F ,A cùng nằm trên một đường tròn .
c. Chứng minh : $BC^{2}=4Rr$ .
d. Tính diện tích tứ giác BCIO theo R, r .
Hướng dẫn giải :
a.
Ta có : BE và AE là hai tiếp tuyến cắt nhau => AE = BE .
Tương tự : AE = EC
=> AE = EC = EB = $\frac{1}{2}BC$
=> $\triangle ABC$ vuông ở A . ( đpcm )
b.
Theo tính chất tiếp tuyến cắt nhau => EO là phân giác của tam giác cân AEB
=> EO là đường trung trực của AB .
<=> $OE\perp AB<=> \widehat{ENA}=90^{\circ}$
Tương tự : $ \widehat{EFA}=90^{\circ}$
=> $ \widehat{EFA}+\widehat{ENA}=180^{\circ}$
=> N, E , F ,A cùng nằm trên một đường tròn . ( đpcm )
c.
Xét tứ giác FANE có :$ \widehat{EFA}=\widehat{ENA}=\widehat{EAF}=90^{\circ}$
=> FANE là hình vuông .
Mặt khác , ta có : $\triangle OEI$ vuông tại E và $EA\perp OI$ ( t/c tiếp tuyến )
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông , ta có : $AH^{2}=OA.AI$
Mà $AH=\frac{BC}{2}; OA=R;AI=r$
=> $\frac{BC^{2}}{4}=R.r=> BC^{2}=4Rr$ . ( đpcm )
d.
Ta có : BCIO là hình thang vuông .
Áp dụng CT tính diện tích hình thang , ta có : $S_{BCIO}=\frac{OB+IC}{2}.BC$
Mà : $ BC^{2}=4Rr=> BC=2\sqrt{Rr}$
=> $S_{BCIO}=\frac{r+R}{2}.2\sqrt{Rr}<=>S_{BCIO}=(r+R)\sqrt{Rr} $.
Vậy $S_{BCIO}=(r+R)\sqrt{Rr} $ ( đvdt )