Bài Làm:
Hướng dẫn giải câu 3:
Đề ra :
Cho phương trình : $2x\sqrt{4-x^{2}}-2(m-2)(x+\sqrt{4-x^{2}})+m^{2}=0$ (1)
Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt .
Hướng dẫn chi tiết :
$2x\sqrt{4-x^{2}}-2(m-2)(x+\sqrt{4-x^{2}})+m^{2}=0$ (1)
Đk : $-2\leq x\leq 2$
Đặt $t=x+\sqrt{4-x^{2}}=> 2x\sqrt{4-x^{2}}=t^{2}-4$
=> $t{}'=1-\frac{x}{\sqrt{4-x^{2}}}=\frac{\sqrt{4-x^{2}}-x}{\sqrt{4-x^{2}}}$
Để $t{}'=0<=>1-\frac{x}{\sqrt{4-x^{2}}}=\frac{\sqrt{4-x^{2}}-x}{\sqrt{4-x^{2}}}=0$
<=> $\sqrt{4-x^{2}}=x=> x=\sqrt{2}$
Bảng biến thiên :
=> $-2\leq t\leq 2\sqrt{2}$
(1) <=> $f(t)=t^{2}-2(m-2)t+m^{2}-4=0$ (2)
+ Với $t=2\sqrt{2}$ hoặc $t\in [-2;2)$ , thì pt $t=x+\sqrt{4-x^{2}}$ có đúng một nghiệm x .
+ Với $t\in [2;2\sqrt{2})$ , thì pt $t=x+\sqrt{4-x^{2}}$ có đúng hai nghiệm phân biệt x .
TH 1 : (2) có hai nghiệm $t_{1},t_{2}\in (-2;2)$
<=> $\left\{\begin{matrix}\Delta {}'>0 & & & \\ f(-2)>0 & & & \\ f(2)>0 & & & \\ -2<\frac{S}{2}<2 & & & \end{matrix}\right.$ <=> $2\sqrt{3}-2<m<2$
TH 2 : (2) có đúng 1 nghiệm $t\in (2;2\sqrt{2})$
+ Nếu là nghiệm kép $\in (2;2\sqrt{2})$ <=> $\left\{\begin{matrix}\Delta{}'=0 & \\ t_{0}=m-2\in (2;2\sqrt{2}) & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}m=2 & \\ m-2\in (2;2\sqrt{2}) & \end{matrix}\right.$
=> Hệ vô nghiệm .
+ Nếu là hai nghiệm phân biệt $t_{1},t_{2}$ thỏa mãn : $\left\{\begin{matrix}2<t_{1}<2\sqrt{2}<t_{2} & \\ t_{1}<-2<2<t_{2}<2\sqrt{2} & \end{matrix}\right.$
Nhận xét : Hệ này vô nghiệm .
TH 3 : (2) có 1 nghiệm t = -2
<=> $m^{2}+4m-8=0<=> m=-2-2\sqrt{3}\vee m=2\sqrt{3}-2$
+ Với $ m=-2-2\sqrt{3}$ , thì (2) <=> $t^{2}+2(4+2\sqrt{3})t+12+8\sqrt{3}=0$
<=> Hoặc t = -2 ( t/mãn ) hoặc $t=-6-4\sqrt{3}$ ( loại )
+ Với $m=2\sqrt{3}-2$ , thì (2) <=> $t^{2}-2(2\sqrt{3}-4)t+12-8\sqrt{3}=0$
<=> Hoặc t = -2 hoặc $t=4\sqrt{3}-6$ ( t/mãn )
=> $m=2\sqrt{3}-2$ thỏa mãn yêu cầu đề bài .
TH 4 : (2) có 1 nghiệm t = 2
=> $m^{2}-4m+8=0$ ( vô nghiệm )
TH 5 : (2) có 1 nghiệm $t=2\sqrt{2}$
=> $m^{2}-4\sqrt{2}m+4+8\sqrt{2}=0$ ( vô nghiệm )
Vậy các giá trị thỏa mãn là $2\sqrt{3}-2\leq m<2$ .