Câu 3: Trang 104 toán VNEN 9 tập 2
a) Cho đường tròn (O) có hai dây AB và CD cắt nhau tại điểm E nằm trong đường tròn (O). Chứng minh rằng: $EA\times EB = EC\times ED$.
Hướng dẫn: Xem hình 83
Nối AD, BC khi đó $\widehat{DAB} = \widehat{DCB}$ (vì cùng chắn cung DB) và $\widehat{ADC} = \widehat{ABC}$ (vì cùng chắn cung $...$)
Do đó, DEA và BEC là hai tam giác đồng dạng.
Từ đó, suy ra: $\frac{DE}{BE} = \frac{...}{EC}$, hay $...$
b) Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm là A và B. Tiếp tuyến tại điểm A của đường tròn (O) cắt đường tròn (O') tại điểm C (khác với A). CB cắt (O) tại điểm D (khác với B). Gọi Cy là tiếp tuyến của (O') tại điểm C. Chứng minh Cy // AD.
Hướng dẫn: Xem hình 84
Trong (O') thì $\widehat{BCy}$ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến Cy và dây cung BC, nên $\widehat{BCy} = \frac{1}{2} sd CB$, còn $\widehat{CAB}$ là góc nội tiếp chắn cung CB, nên $\widehat{CAB} = \frac{1}{2}CB$, suy ra $\widehat{BCy} = \widehat{CAB}$. Tương tự với (O), chứng minh được $\widehat{CAB} = \widehat{BDA}$.
Từ đó, suy ra: $...............$
c) Cho đường tròn (O; R) và dây cung HI. Qua điểm H kẻ Hx sao cho góc $\widehat{IHx}$ có số đo bằng nửa số đo cung nhỏ HI. Chứng minh rằng $OH \perp Hx$.
Hướng dẫn: Xem hình 85
Gọi J là điểm chính giữa cung nhỏ HI và K là giao điểm của OJ với HI thì $OK \perp HK$ và $\widehat{KOH} = \frac{1}{2}sd HI$.
Theo giả thiết, $\widehat{IHx} = \frac{1}{2} sd IH$ nên $\widehat{IHx} = \widehat{KOH}$.
Do hai góc nhọn này đã có một cặp cạnh vuông góc với nhau ($OK \ perp HI$), nên $.................$ tức là $..................$
Bài Làm:
a) Các em vẽ lại hình 82 vào vở.
Nối AD, BC khi đó $\widehat{DAB} = \widehat{DCB}$ (vì cùng chắn cung DB) và $\widehat{ADC} = \widehat{ABC}$ (vì cùng chắn cung AC)
Do đó, DEA và BEC là hai tam giác đồng dạng.
Từ đó, suy ra: $\frac{DE}{BE} = \frac{EA}{EC}$, hay $EA\times EB = ED\times EC$
b) Các em vẽ lại hình 84 vào vở
Trong (O') thì $\widehat{BCy}$ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến Cy và dây cung BC, nên $\widehat{BCy} = \frac{1}{2} sd CB$, còn $\widehat{CAB}$ là góc nội tiếp chắn cung CB, nên $\widehat{CAB} = \frac{1}{2}CB$, suy ra $\widehat{BCy} = \widehat{CAB}$. Tương tự với (O), chứng minh được $\widehat{CAB} = \widehat{BDA}$.
Từ đó, suy ra: $\widehat{CAB} = \widehat{BDA} \Rightarrow AD // Cy$ (vì có hai góc so le trong bằng nhau)
c) Các em vẽ lại hình của bài toán vào vở
Gọi J là điểm chính giữa cung nhỏ HI và K là giao điểm của OJ với HI thì $OK \perp HK$ và $\widehat{KOH} = \frac{1}{2}sd HI$.
Theo giả thiết, $\widehat{IHx} = \frac{1}{2} sd IH$ nên $\widehat{IHx} = \widehat{KOH}$.
Do hai góc nhọn này đã có một cặp cạnh vuông góc với nhau ($OK \perp HI \Rightarrow \widehat{KOH} = \widehat{IHO} = 90^\circ$), nên $\widehat{IHx} + \widehat{KHO} = 90^\circ$ tức là $OH \perp Hx$