Bài tập 20 trang 66 SBT toán 8 tập 2 cánh diều:
Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. Chứng minh: MN ≤ $\frac{AB+DC}{2}$. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài Làm:
Lấy I là trung điểm của BD. Khi đó, ta có MI, NI lần lượt là các đường trung bình của tam giác ABD và BDC nên MI = $\frac{AB}{2}$, NI = $\frac{CD}{2}$.
Do đó MI + NI = $\frac{AB+CD}{2}$ (1).
- Nếu I không thuộc MN ta có MN < MI + NI (bất đẳng thức tam giác).
- Nếu I thuộc MN ta có MN = MI+NI.
Tức là, ta luôn có MN ≤ MI + NI (2).
Từ (1), (2) suy ra MN ≤ $\frac{AB+DC}{2}$.
Dấu đẳng thức xảy ra khi I thuộc MN, khi đó AB // CD.
