Bài 6.4: trang 59 sbt Toán 9 tập 2
Cho phương trình
\(\left( {2m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 4} \right)x + 5m + 2 = 0(m \ne {1 \over 2}).\)
a) Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm.
b) Khi phương trình có nghiệm $x_1, x_2, $hãy tính tổng S và tích P của hai nghiệm theo m.
c) Tìm hệ thức giữa S và P sao cho trong hệ thức này không có m.
Bài Làm:
Phương trình: \(\left( {2m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 4} \right)x + 5m + 2 = 0(m \ne {1 \over 2})\) (1)
a) Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \(\sqrt {\Delta '} \ge 0\)
\(\Delta ' = {\left[ { - \left( {m + 4} \right)} \right]^2} - \left( {2m - 1} \right)\left( {5m + 2} \right) \)
\(= {m^2} + 8m + 16 - 10{m^2} - 4m + 5m + 2 \)
\(= - 9m + 9m + 18 \)
\(= - 9m\left( {{m^2} - m - 2} \right) \)
\(= - 9\left( {m - 2} \right)\left( {m + 1} \right) \)
\(\Delta ' \ge 0 \)
\(\Rightarrow - 9\left( {m - 2} \right)\left( {m + 1} \right) \ge 0 \)
\(\Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {m + 1} \right) \le 0\)
\( \Rightarrow \left\{ {\matrix{{m - 2 \ge 0} \cr {m + 1 \le 0} \cr} } \right.\)
Hoặc
\(\left\{ {\matrix{{m - 2 \le 0} \cr {m + 1 \ge 0} \cr} } \right.\)
\(\left\{ {\matrix{{m - 2 \ge 0} \cr {m + 1 \le 0} \cr} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{m \ge 2} \cr {m \le - 1} \cr} } \right.} \right.\)
vô nghiệm
\(\left\{ {\matrix{{m - 2 \le 0} \cr {m + 1 \ge 0} \cr} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{m \le 2} \cr {m \ge - 1} \cr} \Leftrightarrow - 1 \le m \le 2} \right.} \right.\)
Vậy với $-1 \le m \le 2 $thì phương trình (1) có nghiệm.
b) Phương trình có hai nghiệm $x_1, x_2.$
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\({x_1} + {x_2} = {{2\left( {m + 4} \right)} \over {2m - 1}}\)
\({x_1}{x_2} = {{5m + 2} \over {2m - 1}}\)
c) Đặt \({x_1} + {x_2} = S;{x_1}{x_2} = P\)
\(S = {{2m + 8} \over {2m - 1}} \)
\(\Leftrightarrow 2mS - S = 2m + 8 \)
\(\Leftrightarrow 2m\left( {S - 1} \right) = S + 8\)
Ta có:
\(2m + 8 \ne 2m - 1 \Rightarrow S \ne 1 \)
\(\Rightarrow m = {{S + 8} \over {2\left( {S - 1} \right)}} \)
Thay vào biểu thức P ta có:
\(P \,\,\,= {{5.{{S + 8} \over {2\left( {S - 1} \right)}} + 2} \over {2.{{S + 8} \over {2\left( {S - 1} \right)}} - 1}} \)
\(= {{5S + 40 + 4S - 4} \over {2S + 16 - 2S + 2}} \)
\(= {{9S + 36} \over {18}} = {{S + 4} \over 2} \)
\(\Rightarrow 2P = S + 4 \Rightarrow 2P - S = 4 \)
\(\Rightarrow 2{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 4\)
Biểu thức không phụ thuộc vào m