Bài 6.3: trang 58 sbt Toán 9 tập 2
Dùng định lí Vi-ét, hãy chứng tỏ rằng nếu tam thức \(a{x^2} + bx + c\) có hai nghiệm $x_1$và $x_2$thì nó phân tích được thành
\(a{x^2} + bx + c = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\)
Áp dụng:
Phân tích các tam thức sau thành tích:
a) \({x^2} - 11x + 30\)
b) \(3{x^2} + 14x + 8\)
c) \(5{x^2} + 8x - 4\)
d) \({x^2} - \left( {1 + 2\sqrt 3 } \right)x - 3 + \sqrt 3 \)
Bài Làm:
Tam thức bậc hai: \(a{x^2} + bx + c\) có hai nghiệm $x_1, x_2 $
Nên phương trình: \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) có hai nghiệm $x_1, x_2$
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\({x_1} + {x_2} = - {b \over a}\)
\({x_1}{x_2} = {c \over a}\,\,\,(1) \)
\(a{x^2} + bx + c = a\left( {{x^2} + {b \over a}x + {c \over a}} \right)\,\,\,(2)\)
Từ (1) và (2) suy ra:
\(a{x^2} + bx + c = a\left[ {{x^2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right)x + {x_1}{x_2}} \right] \)
\(= a\left[ {{x^2} - {x_1}x - {x_2}x + {x_1}{x_2}} \right] \)
\(= a\left[ {x\left( {x - {x_1}} \right) - {x_2}\left( {x - {x_1}} \right)} \right] \)
\(= a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right) \)
Áp dụng
a) \({x^2} - 11x + 30 = x \)
\(\Delta = {\left( { - 11} \right)^2} - 4.1.30 = 121 - 120 = 1 > 0 \)
\(\Rightarrow \sqrt \Delta = \sqrt 1 = 1 \)
\({x_1} = {{11 + 1} \over {2.1}} = 6 \)
\({x_2} = {{11 - 1} \over {2.1}} = 5 \)
Ta có: \({x^2} - 11x + 30 = \left( {x - 6} \right)\left( {x + 5} \right)\)
b) \(3{x^2} + 14x + 8 = 0 \)
\(\Delta ' = {7^2} - 3.8 = 49 - 24 = 25 > 0 \)
\(\Rightarrow \sqrt {\Delta '} = \sqrt {25} = 5 \)
\({x_1} = {{ - 7 + 5} \over 3} = - {2 \over 3} \)
\({x_2} = {{ - 7 - 5} \over 3} = - 4 \)
Ta có \(3{x^2} + 14x + 8 = 3\left( {x + {2 \over 3}} \right)\left( {x + 4} \right) = \left( {3x + 2} \right)\left( {x + 4} \right)\)
c) \(5{x^2} + 8x - 4 = 0 \)
\(\Delta ' = {4^2} - 5.\left( { - 4} \right) = 16 + 20 = 36 > 0 \)
\(\Rightarrow \sqrt {\Delta '} = \sqrt {36} = 6 \)
\({x_1} = {{ - 4 - 6} \over 5} = - 2 \)
\({x_2} = {{ - 4 + 6} \over 5} = {2 \over 5} \)
Ta có \(5{x^2} + 8x - 4 = 5\left( {x - {2 \over 5}} \right)\left( {x + 2} \right) = \left( {5x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\)
d) \({x^2} - \left( {1 + 2\sqrt 3 } \right)x - 3 + \sqrt 3 = 0 \)
\(\Delta = {\left[ { - \left( {1 + 2\sqrt 3 } \right)} \right]^2} - 4.1.\left( { - 3 + \sqrt 3 } \right) \)
\(= 1 + 4\sqrt 3 + 12 + 12 - 4\sqrt 3 = 25 > 0 \)
\(\Rightarrow \sqrt \Delta = \sqrt {25} = 5 \)
\({x_1} = {{1 + 2\sqrt 3 + 5} \over {2.1}} = 3 + \sqrt 3 \)
\({x_2} = {{1 + 2\sqrt 3 - 5} \over {2.1}} = \sqrt 3 - 2 \)
\({x^2} - \left( {1 + 2\sqrt 3 } \right)x - 3 + \sqrt 3 \)
\(= \left[ {x - \left( {3 + \sqrt 3 } \right)} \right]\left[ {x - \left( {\sqrt 3 - 2} \right)} \right] \)
\(= \left( {x - 3 - \sqrt 3 } \right)\left( {x - \sqrt 3 + 2} \right)\)