Bài 3.2: trang 52 sbt Toán 9 tập 2
Giải các phương trình sau bằng cách biến đổi chúng thành những phương trình với vế trái là một bình phương còn vế phải là một hằng số:
a) \({x^2} - 3x + 1 = 0\)
b) \({x^2} + \sqrt 2 x - 1 = 0\)
c) \(5{x^2} - 7x + 1 = 0\)
d) \(3{x^2} + 2\sqrt 3 x - 2 = 0\)
Bài Làm:
a) \({x^2} - 3x + 1 = 0 \)
\(\Leftrightarrow {x^2} - 2.{3 \over 2}x + {9 \over 4} = {9 \over 4} - 1\)
\( \Leftrightarrow {\left( {x - {3 \over 2}} \right)^2} = {5 \over 4} \)
\(\Leftrightarrow \left| {x - {3 \over 2}} \right| = {{\sqrt 5 } \over 2}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{x - {3 \over 2} = {{\sqrt 5 } \over 2} \hfill \cr x - {3 \over 2} = - {{\sqrt 5 } \over 2} \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = {{3 + \sqrt 5 } \over 2} \hfill \cr x = {{3 - \sqrt 5 } \over 2} \hfill \cr} \right.\)
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = {{3 + \sqrt 5 } \over 2};{x_2} = {{3 - \sqrt 5 } \over 2}\)
b) \({x^2} + \sqrt 2 x - 1 = 0 \)
\(\Leftrightarrow {x^2} + 2.{{\sqrt 2 } \over 2}x + {\left( {{{\sqrt 2 } \over 2}} \right)^2} = 1 + {\left( {{{\sqrt 2 } \over 2}} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {x + {{\sqrt 2 } \over 2}} \right)^2} = {3 \over 2} \)
\(\Leftrightarrow \left| {x + {{\sqrt 2 } \over 2}} \right| = {{\sqrt 6 } \over 2}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{x + {{\sqrt 2 } \over 2} = {{\sqrt 6 } \over 2} \hfill \cr x + {{\sqrt 2 } \over 2} = - {{\sqrt 6 } \over 2} \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = {{ - \sqrt 2 + \sqrt 6 } \over 2} \hfill \cr x = - {{\sqrt 2 + \sqrt 6 } \over 2} \hfill \cr} \right.\)
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = {{ - \sqrt 2 + \sqrt 6 } \over 2};{x_2} = - {{\sqrt 2 + \sqrt 6 } \over 2}\)
c) \(5{x^2} - 7x + 1 = 0 \)
\(\Leftrightarrow {x^2} - {7 \over 5}x + {1 \over 5} = 0 \)
\(\Leftrightarrow {x^2} - 2.{7 \over {10}}x + {{49} \over {100}} = {{49} \over {100}} - {1 \over 5} \)
\(\Leftrightarrow {\left( {x - {7 \over {10}}} \right)^2} = {{29} \over {100}} \)
\(\Leftrightarrow \left| {x - {7 \over {10}}} \right| = {{\sqrt {29} } \over {10}}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{x - {7 \over {10}} = {{\sqrt {29} } \over {10}} \hfill \cr x - {7 \over {10}} = - {{\sqrt {29} } \over {10}} \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = {{7 + \sqrt {29} } \over {10}} \hfill \cr x = {{7 - \sqrt {29} } \over {10}} \hfill \cr} \right.\)
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = {{7 + \sqrt {29} } \over {10}};{x_2} = {{7 - \sqrt {29} } \over {10}}\)
d) \(3{x^2} + 2\sqrt 3 x - 2 = 0 \)
\(\Leftrightarrow {x^2} + 2.{{\sqrt 3 } \over 3}x - {2 \over 3} = 0 \)
\(\Leftrightarrow x + 2.{{\sqrt 3 } \over 3}x + {\left( {{{\sqrt 3 } \over 3}} \right)^2} = {2 \over 3} + {\left( {{{\sqrt 3 } \over 3}} \right)^2} \)
\(\Leftrightarrow {\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 3}} \right)^2} = 1 \)
\(\Leftrightarrow \left| {x + {{\sqrt 3 } \over 3}} \right| = 1\)
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{x + {{\sqrt 3 } \over 3} = 1 \hfill \cr x + {{\sqrt 3 } \over 3} = - 1 \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = 1 - {{\sqrt 3 } \over 3} \hfill \cr x = - 1 - {{\sqrt 3 } \over 3} \hfill \cr} \right.\)
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 1 - {{\sqrt 3 } \over 3};{x_2} = - 1 - {{\sqrt 3 } \over 3}\)