4.30. Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại điểm O sao cho OA = OB = OC = OD như Hình 4.30. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật.
Bài Làm:
Xét $\Delta OAB$ và $\Delta OCD$ ta có:
OA = OC (giả thiết)
$\widehat{AOB}=\widehat{COD}$ (hai góc đối đỉnh)
OB = OD (giả thiết)
Do đó, $\Delta OAB = \Delta OCD$ (c . g . c).
Suy ra AB = DC và $\widehat{BAO}=\widehat{OCD}$ hay $\widehat{BAC}=\widehat{ACD}$.
Mà hai góc này ở vị trí so le trong, do đó AB // DC (1).
Xét $\Delta OAD$ và $\Delta OCB$ ta có:
OA = OC (giả thiết)
$\widehat{AOD}=\widehat{BOC}$ (hai góc đối đỉnh)
OD = OB (giả thiết)
Do đó, $\Delta OAD = \Delta OCB$ (c . g . c).
Suy ra AD = BC và $\widehat{OAD}=\widehat{OCB}$ hay $\widehat{CAD}=\widehat{ACB}$.
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC (2).
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ABCD là hình bình hành.
Ta có: OA = OC = OB = OD, AC = OA + OC, BD = OB + OD.
Do đó, AC = BD.
Xét tam giác ABD và tam giác DCA có:
AB = DC (chứng minh trên)
AD cạnh chung
BD = AC (chứng minh trên)
Do đó, $\Delta ABD = \Delta DCA$ (c . c . c).
Suy ra $\widehat{BAD}=\widehat{CDA}$
Lại có: $\widehat{BAD}+\widehat{CDA}=180^{\circ}$ (do AB // DC, hai góc ở vị trí trong cùng phía)
Do đó: $\widehat{BAD}=\widehat{CDA}=180^{\circ} / 2 = 90$
Vậy hình bình hành ABCD có một góc vuông nên nó là hình chữ nhật.
