4.26. Cho các điểm A, B, C, D như Hình 4.26, biết rằng AB = CD, $\widehat{BAE}=\widehat{DCE}$. Chứng minh rằng:
a) E là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BD.
b) $\Delta ACD=\Delta CAB$.
c) AD song song với BC
Bài Làm:
a) Xét tam giác ABE có:
$\widehat{BAE}+\widehat{ABE}+\widehat{AEB}=180^{\circ}$
$\widehat{ABE}=180^{\circ}-\widehat{BAE}-\widehat{AEB}$ (1)
Xét tam giác CDE có:
$\widehat{DEC}+\widehat{DCE}+\widehat{EDC}=180^{\circ}$
$\widehat{EDC}=180^{\circ}-\widehat{DCE}-\widehat{DEC}$ (2)
Mà $\widehat{BAE}=\widehat{DCE}$ (giả thiết); $\widehat{AEB}=\widehat{DEC}$ (hai góc đối đỉnh) (3)
Từ (1), (2), (3) ta suy ra $\widehat{ABE}=\widehat{EDC}$.
Xét $\Delta ABE$ và $\Delta CDE$ có:
$\widehat{ABE}=\widehat{EDC}$(chứng minh trên)
AB = CD (giả thiết)
$\widehat{BAE}=\widehat{DCE}$ (giả thiết)
Do đó, $\Delta ABE = \Delta CDE$ (g . c . g).
Suy ra, AE = CE; BE = DE (các cặp cạnh tương ứng)
Vì AE = CE và E nằm giữa A và C nên E là trung điểm của AC;
Vì BE = DE và B nằm giữa D và B nên E là trung điểm của BD.
b) Xét $\Delta ACD$ và $\Delta CAB$ có:
CD = AB (giả thiết)
AC chung
$\widehat{BAC}=\widehat{DCA}$ (giả thiết)
Do đó, $\Delta ACD = \Delta CAB$ (c . g . c).
c) Vì $\Delta ACD = \Delta CAB$ nên $\widehat{DAC}=\widehat{BCA}$ (hai góc tương ứng)
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AD song song với BC.
