BÀI 3. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG. GÓC NHỊ DIỆN
I. Định nghĩa
Bài 1: Quan sát Hình 32 và cho biết…
Đáp án:
a) Ta có: MH⊥(P), O∈(P) => Hình chiếu của MO trên (P) là HO.
b) Góc giữa MO và hình chiếu của đường thẳng đó trên (P) là $\widehat{MOH}$.
Bài 2: Giả sử ở những giây đầu tiên sau khi cất cánh. máy bay chuyển động theo một đường thẳng tạo với mặt đất một góc 20$^{\circ}$ và có vận tốc 200 km/h. Tính độ cao của máy bay so với mặt đất theo đơn vị mét sau khi máy bay rời khỏi mặt đất 2 giây (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Đáp án:
Đổi 200km/h =$\frac{500}{9}$ m/s
OA là quãng đường máy bay bay sau 2 giây, OH là độ cao của máy bay so với mặt đất, AOH là chỉ số đo góc giữa đường thẳng máy bay và mặt đất.
Quãng đường máy bay bay được sau 2 giây là:
$\frac{500}{9}$ . 2=$\frac{1000}{9}$ (m)
∆OAH vuông tại H nên ta có:
AH=OA.sin $\widehat{AOH}$ =$\frac{1000}{9}$.sin 20$^{\circ}$ ≈38 (m)
II. Góc nhị diện
Bài 1: Quan sát hình ảnh một quyển số được mở ra…
Đáp án:
Hai nửa mặt phẳng có chung bờ
Bài 2: Trong không gian cho hai mặt phẳng $\alpha $,$\beta $ …
Đáp án:
Hai mặt phẳng $\alpha $ và $\beta $ tạo nên 4 góc nhị diện có cạnh của góc nhị diện là đường thẳng d.
Bài 3: Cho góc nhị diện có hai mặt là hai nửa mặt phẳng (P), (Q) và cạnh của góc nhị diện là đường thẳng d…
Đáp án:
Trong P: $\left\{\begin{matrix}Ox\perp d & \\ O'x'\perp d & \end{matrix}\right.$ => Ox//O'x'
Trong (Q): $\left\{\begin{matrix}Oy\perp d & \\ O'y'\perp d & \end{matrix}\right.$ => Oy//O'y'
Vậy $\widehat{xOy}$=$\widehat{x'Oy'}$.
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông…
Đáp án:
a. Ta có: AB⊥SA, AD⊥SA (Do SA⊥(ABCD))
Nên góc nhị diện [B,SA,D] là góc $\widehat{BAD}$=90$^{\circ}$ (ABCD là hình vuông)
b. Vì AB⊥SA, AC⊥SA (Do SA⊥(ABCD))
Nên góc nhị diện [B,SA,C] là góc $\widehat{BAC}$=45$^{\circ}$ (ABCD là hình vuông)
III. Bài tập
Bài 1: S.ABCD có SA ⊥ (ABCD)…
Đáp án:
a) Ta có AB⊥SA, AC⊥SA (Do SA⊥(ABCD))
Nên góc nhị diện [B,SA,C]=$\widehat{BAC}$
Mà ∆ABC đều cạnh a => [B,SA,C]=$\widehat{BAC}$=60$^{\circ}$
b) Ta có AB⊥SA, AD⊥SA (Do SA⊥(ABCD))
Nên góc nhị diện [B,SA,D]=$\widehat{BAD}$
Mà ∆ACD đều cạnh a => $\widehat{CAD}$=60$^{\circ}$
=> [B,SA,D]=$\widehat{BAD}$=$\widehat{BAC}$+$\widehat{CAD}$=120$^{\circ}$
c) Do SA⊥(ABCD) nên AC là hình chiếu của SC trên (ABCD)
=> (SC, (ABCD)) = $\widehat{SCA}$
Mà ∆SAC vuông cân tại A => $\widehat{SCA}$=45$^{\circ}$
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông…
Đáp án:
a) Do SO⊥(ABCD) => (SA, ABCD) = $\widehat{SAC}$
Mà ∆SAC đều => $\widehat{SAC}$=60$^{\circ}$
b) Do SO⊥(ABCD)⇒AO⊥AC; AC⊥BD (ABCD là hình vuông)
=> AC⊥($\widehat{ABD}$)
⇒ (SA, ($\widehat{SBD}$))=(SA,SO)=$\widehat{ASO}$=$\frac{1}{2} \widehat{ASC}$=30$^{\circ}$
c) Ta có OM⊥SO;OD⊥SO (SO⊥(ABCD))
[M,SO,D]=$\widehat{MOD}$=$\widehat{MOA}$+$\widehat{AOD}$
Mà $\widehat{AOD}$=90$^{\circ}$ (ABCD là hình vuông)
∆OAB vuông cân tại O; OM là đường trung tuyến trong ∆OAB
=> OM là đường phân giác của $\widehat{AOB}$
=> $\widehat{MOA}$=45$^{\circ}$
=> [M,SO,D]=$\widehat{MOD}$=$\widehat{MOA}$+$\widehat{AOD}$
=45$^{\circ}$+90$^{\circ}$=135$^{\circ}$
Bài 3: Dốc là đoạn đường thẳng nối hai khu vực hay hai vùng có độ cao khác nhau…
Đáp án:
AB là chiều dài con dốc, AH là độ cao của điểm A so với mặt nước biển, BK là độ cao của điểm B so với mặt nước biển, BI là chiều cao của con dốc, BAI chỉ độ dốc.
Xét hình chữ nhật AHKB, ta có:
=> IK=AH=200⇒BI=BK-IK=20
Xét ∆ABI vuông tại I, ta có:
=> sin $\widehat{ABI}$=$\frac{BI}{AB}$=$\frac{20}{120}$=$\frac{1}{6}$
=> $\widehat{ABI} \approx $9,590 hay 10,66%
Vậy độ dốc của con dốc đó là 10,66%
Bài 4: Trong Hình 42, máy tính xách tay đang mở gợi nên hình ảnh của một góc nhị diện…
Đáp án:
CAB là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện cần tính.
Xét ∆ABC, ta có:
cos$\widehat{CAB}$=$\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2.AB.AC}$=$\frac{30^{2}+30^{2}-(30\sqrt{3})^{2}}{2.30.30}$=-$\frac{1}{2}$ ⇒$\widehat{CAB}$=120$^{\circ}$
Bài 5: Trong Hình 43, xét các góc nhị diện có góc phẳng nhị diện tương ứng…
Đáp án:
Kẻ DH⊥AG và cắt BE tại H;
Xét ∆DHE vuông tại H và DH=2m;HE=5,5m
=> tan $\widehat{HED}$ =$\frac{DH}{HE}$=$\frac{2}{5,5}$
=> $\widehat{HED} \approx $20$^{\circ}$=> $\widehat{EDH} \approx $70$^{\circ}$
Ta có:
+) x=$\widehat{HEG}$+$\widehat{HED}$=90$^{\circ}$+20$^{\circ}$=110$^{\circ}$
+) y=$\widehat{CDH}$+$\widehat{EDH}$=90$^{\circ}$+70$^{\circ}$=160$^{\circ}$
Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC)…
Đáp án:
Kẻ đường cao AH => AH⊥BC
Ta có: SA$\perp $(ABC) =>BC⊥SA⇒BC⊥(SAH)⇒BC⊥SH
Vậy [A, BC, S] = $\widehat{AHS}$=α
Xét ∆SAH vuông tại A ta có:
=> cos α =$\frac{AH}{SH}$. Mặt khác $\frac{S_{ABC}}{S_{SBC}}$=$\frac{\frac{1}{2}AH.BC}{\frac{1}{2}SH.BC}$=$\frac{AH}{SH}$
=> cos α=$\frac{S_{ABC}}{S_{SBC}}$