CHƯƠNG V. MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
BÀI 1. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM CHO MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM
I. Mẫu số liệu ghép nhóm
Bài 1: Trong bảng 1 ở phần mở đầu, ta thấy...
Đáp án:
a) Ô tô có độ tuổi từ 8 đến dưới 12 là: 48.
b) Ô tô có độ tuổi từ 12 đến dưới 16 là: 22.
c) Ô tô có độ tuổi từ 16 đến dưới 20 là: 8.
Bài 2: Mẫu số liệu ghép nhóm ở Bảng 1 có bao nhiêu số liệu? Bao nhiêu nhóm? Tìm tần số của mỗi nhóm?
Đáp án:
Ở Bảng 1 có:
+ 120 số liệu; 5 nhóm.
+ Tần số mỗi nhóm lần lượt là:
|
Nhóm |
Tần số |
|
[0;4) |
13 |
|
[4;8) |
29 |
|
[8;12) |
48 |
|
[12;16) |
22 |
|
[16;20) |
8 |
Bài 3: Một trường trung học phổ thông chọn 36 học sinh nam của khối lớp 11...
Đáp án:
Ta có thể chia mẫu số liệu thành năm nhóm như sau:
[160;163) ;[163;166) ;[166;169) ;[169;172) ;[172;175)
Bài 4: Một thư viện thống kê số người đến đọc sách vào buổi tối...
Đáp án:
|
Nhóm |
Tần số |
|
[25;34) |
3 |
|
[34;43) |
3 |
|
[43;52) |
6 |
|
[52;61) |
5 |
|
[61;70) |
4 |
|
[70;79) |
3 |
|
[79;88) |
4 |
|
[88;97) |
2 |
|
n=30 |
Bài 5: Trong Bảng 4 , có bao nhiêu số liệu với giá trị không vượt quá giá trị của đầu mút phải…
Đáp án:
Các giá trị không vượt quá giá trị của đầu mút phải
a) 163 của nhóm 1: 6 giá trị
b) 166 của nhóm 2: 18 giá trị
c) 169 của nhóm 3: 28 giá trị
d) 172 của nhóm 4: 33 giá trị
e) 175 của nhóm 5: 36 giá trị
Bài 6: Trong bài toán ở Luyện tập 2, lập bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích lũy có tám nhóm ứng với tám nửa khoảng: [25; 34); [34; 43); [43; 52); [52; 61); [61; 70); [70; 79); [79; 88); [88; 97)
Đáp án:
|
Nhóm |
Tần số |
Tần số tích lũy |
|
[25;34) |
3 |
3 |
|
[34;43) |
3 |
6 |
|
[43;52) |
6 |
12 |
|
[52;61) |
5 |
17 |
|
[61;70) |
4 |
21 |
|
[70;79) |
3 |
24 |
|
[79;88) |
4 |
28 |
|
[88;97) |
2 |
30 |
|
n=30 |
II. Số trung bình cộng (Số trung bình)
Bài 1: Xét mẫu số liệu trong Ví dụ 2 được cho dưới dạng bảng tần số ghép nhóm (Bảng 7)…
Đáp án:
a) x$_{1}$=$\frac{160+163}{2}$=161,5.
b) Tương tự ta tính được:
x$_{2}$=$\frac{163+166}{2}$=164,5 ; x$_{3}$=$\frac{166+169}{2}$=167,5
x$_{4}$=$\frac{169+172}{2}$=170,5 ; x$_{5}$=$\frac{172+175}{2}$=173,5
=> Bảng hoàn thiện:
|
Nhóm |
Giá trị đại diện |
Tần số |
|
[160;163) |
161,5 |
6 |
|
[163;166) |
164,5 |
12 |
|
[166;169) |
167,5 |
10 |
|
[169;172) |
170,5 |
5 |
|
[172;175) |
173,5 |
3 |
|
n=36 |
c) $\bar{x}$=$\frac{6.161,5+12.164,5+10.167,5+5.170,5 +3.173,5}{36}$ ≈ 166,4
Bài 2: Xác định số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm trong bài toán ở Luyện tập 2
Đáp án:
|
Nhóm |
Giá trị đại diện |
Tần số |
|
[25;34) |
29,5 |
3 |
|
[34;43) |
38,5 |
3 |
|
[43;52) |
47,5 |
6 |
|
[52;61) |
56,5 |
5 |
|
[61;70) |
65,5 |
4 |
|
[70;79) |
74,5 |
3 |
|
[79;88) |
83,5 |
4 |
|
[88;97) |
92,5 |
2 |
|
n=30 |
=> $\bar{x}$=$\frac{3.29,5 + 3.38,5 + 6.47,5 + 5.56,5 + 4.65,5 + 3.74,5 + 4.83,5 + 2.92,5}{30}$ ≈ 59,2
III. Trung vị
Bài 1: Trong phòng thí nghiệm, người ta chia 99 mẫu vật thành năm căn cứ trên khối lượng của chúng (đơn vị: gam) và lập bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tấn số tích lũy như Bảng 10…
Đáp án:
a) Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 49,5
b) + Đầu mút trái r$_{3}$=32,5
+ Độ dài d$_{3}$=42,5-37,5=5
+ Tần số n$_{3}$=20
+ Tần số tích lũy cf$_{2}$=40
c) M$_{e}$=32,5+($\frac{49,5-40}{20}$).5=34,875
Bài 2: Xác định trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm ở bảng 1
Đáp án:
|
Nhóm |
Tần số |
Tần số tích lũy |
|
[0;4) |
13 |
13 |
|
[4;8) |
29 |
42 |
|
[8;12) |
48 |
90 |
|
[12;16) |
22 |
112 |
|
[16;20) |
8 |
120 |
|
n=120 |
+ Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{2}$=60 => k=3
+ r=8 ; d=12-8=4 ; n$_{k}$=48; cf$_{k-1}$=42
M$_{e}$=r+($\frac{\frac{n}{2}-cf_{k-1}}{n_{k}}$).d = 8+($\frac{60-42}{48}$) . 4=9,5
IV. Tứ phân vị
Bài 1: Giáo viên chủ nhiệm chia thời gian sử dụng Internet trong một ngày của 40 học sinh thành năm nhóm...
Đáp án:
a) M$_{e}$=120+($\frac{20-19}{13}$).60=$\frac{1620}{13}$
b) Đúng
Đầu mút trái s=60; Độ dài h=60
Tần số n$_{2}$=13 ; Tần số tích lũy cf$_{1}$=6
Q$_{1}$=60+($\frac{10-6}{13}$).60=$\frac{1020}{13}$
c) Đúng
Đầu mút trái t=120; Độ dài l=60
Tần số n$_{3}$=13 ; Tần số tích lũy cf$_{2}$=19
Q$_{3}$=120+($\frac{30-19}{13}$).60=$\frac{2220}{13}$
Bài 2: Tìm tứ phân vị của mẫu số liệu trong bảng 1
Đáp án:
|
Nhóm |
Tần số |
Tần số tích lũy |
|
[0;4) |
13 |
13 |
|
[4;8) |
29 |
42 |
|
[8;12) |
48 |
90 |
|
[12;16) |
22 |
112 |
|
[16;20) |
8 |
120 |
|
n=120 |
* Tứ phân vị thứ nhất Q$_{1}$:
+ Nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{4}$=30 là nhóm 2 => p=2
+ s=4; h=8-4=4; n$_{2}$=29; cf$_{1}$=13.
=> Q$_{1}$=4+($\frac{30-13}{29}$).4=6,34
* Tứ phân vị thứ hai Q$_{2}$=Me:
+ Nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{2}$=60 là nhóm 3 => k=3
+ r=8; d=4; n$_{3}$=48 ; cf$_{2}$=42
=> Q$_{2}$=M$_{e}$=8+($\frac{60-42}{48}$).4=9,5
* Tứ phân vị thứ ba Q$_{3}$:
+ Nhóm đầu tiên có tần số lớn hơn hoặc bằng $\frac{3n}{4}$=90 là nhóm 3 => q=3
+ t=8; l=4; n$_{3}$=48 ; cf$_{2}$=42
=> Q$_{3}$=8+($\frac{90-42}{48}$).4=12
V. Mốt
Bài 1: Quan sát bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích lũy ở Ví dụ 6 và cho biết:…
Đáp án:
a) Nhóm [50;60) có tần số lớn nhất.
b) Đầu mút trái: 50; Độ dài: 10
Bài 2: Tìm mốt của mẫu số liệu trong Ví dụ 6 (làm tròn các kết quả đến hàng phần mười)
Đáp án:
- Nhóm [50;60) là nhóm có tần số lớn nhất.
- Đầu mút trái u=50; Độ dài g=10;
Tần số n$_{i}$=16; Tần số n$_{i-1}$=10; Tần số n$_{i+1}$=8
=> M$_{o}$=50+($\frac{16-10}{2.16-10-8}$).10=54,3
VI. Bài tập
Bài 1: Mẫu số liệu dưới đây ghi lại tốc độ của 40 ô tô khi đi qua một trạm đo tốc độ (đơn vị : km/h)…
Đáp án:
a)
|
Nhóm |
Tần số |
Tần số tích lũy |
|
[40;45) |
4 |
4 |
|
[45;50) |
11 |
15 |
|
[50;55) |
7 |
22 |
|
[55;60) |
8 |
30 |
|
[60;65) |
8 |
38 |
|
[65;70) |
2 |
40 |
|
n=40 |
b)
+ Trung bình cộng: $\bar{X}$=$\frac{42,5.4+47,5.11+52,5.7+57,5.8+62,5.8+67,5.2}{40}$=53,875
+ Trung vị: Ta có $\frac{n}{2}$=20 nên nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 20 với r=50;d=5;n$_{3}$=7;cf$_{2}$=15.
M$_{e}$=50+($\frac{20-15}{7}$).5 ≈ 53,57
+ Tứ phân vị: Q$_{2}$=M$_{e}$ ≈ 53,57
Ta có $\frac{n}{4}$=10 nên nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 10 với s=45;h=5;n$_{2}$=11;cf$_{1}$=4.
Q$_{1}$=45+($\frac{10-4}{11}$).5≈47,7
Ta có $\frac{3n}{4}$=30 nên nhóm 4 là nhóm có tần số tích lũy bằng 30 với t=55;l=5;n$_{4}$=8;cf$_{3}$=22.
Q$_{3}$=55+($\frac{30-22}{8}$).5=60
c) Mốt của mẫu số liệu:
M$_{0}$=45+($\frac{11-4}{2.11-4-7}$).5 ≈ 48,18.
Bài 2: Mẫu số liệu ghi lại cân nặng của 30 bạn học sinh (đơn vị: kilôgam)…
a)
|
Nhóm |
Tần số |
Tần số tích lũy |
|
[15;20) |
1 |
1 |
|
[20;25) |
0 |
1 |
|
[25;30) |
0 |
1 |
|
[30;35) |
1 |
2 |
|
[35;40) |
10 |
12 |
|
[40;45) |
17 |
29 |
|
[45;50) |
0 |
29 |
|
[50;55) |
1 |
30 |
|
n=30 |
b) + Trung bình cộng: $\bar{X}$=$\frac{17,5+32,5+37,5.10+42,5.17+52,5}{30}$=40
+ Trung vị: Ta có $\frac{n}{2}$=15 nên nhóm 6 là nhóm có tần số tích lũy lớn hơn 15 với r=40;d=5;n$_{6}$=17;cf$_{5}$=12.
M$_{e}$=40+($\frac{15-12}{17}$).5 ≈ 40,88
+ Tứ phân vị:
Q$_{2}$=M$_{e}$≈40,88
Ta có $\frac{n}{4}$=7,5 nên nhóm 5 là nhóm có tần số tích lũy lớn hơn 7,5 với s=35;h=5;n$_{5}$=10;cf$_{4}$=2.
Q$_{1}$=35+($\frac{7,5-2}{10}$).5=37,75
Ta có $\frac{3n}{4}$=22,5 nên nhóm 6 là nhóm có tần số tích lũy bằng 29 lớn hơn 22,5 với t=40;l=5;n$_{6}$=17;cf$_{5}$=12.
Q$_{3}$=40+($\frac{22,5-12}{17}$).5 ≈ 43,09
c) Mốt của mẫu số liệu:
M$_{0}$=40+($\frac{17-10}{2.17-10-0}$).5 ≈ 41,46.
Bài 3: Bảng 15 cho ta tần số ghép nhóm số liệu thống kê chiều cao của 40 mẫu câu ở vườn thực vật (đơn vị: centimét)
a) Xác định số trung bình cộng, trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên
b) Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là bao nhiêu
Đáp án:
+ Trung bình cộng: $\bar{X}$=$\frac{35.4+45.10+55.14+65.6+75.4+85.2}{40}$=55,5
+ Trung vị: Ta có $\frac{n}{2}$=20 nên nhóm 3 là nhóm có tần số tích lũy lớn hơn 20 với r=50;d=10;n$_{3}$=14;cf$_{2}$=14.
M$_{e}$=50+($\frac{20-14}{14}$).10 ≈ 54,29
+ Tứ phân vị:
Q$_{2}$=M$_{e}$ ≈ 54,29
Ta có $\frac{n}{4}$=10 nên nhóm 2 là nhóm có tần số tích lũy lớn hơn 10 với s=40;h=10;n$_{2}$=10;cf$_{1}$=4.
Q$_{1}$=40+$\frac{10-4}{10}$.10=46
Ta có 3n4=30 nên nhóm 4 là nhóm có tần số tích lũy bằng 34 lớn hơn 30 với t=60;l=10;n$_{4}$=6;cf$_{3}$=28.
Q$_{3}$=60+($\frac{30-28}{6}$).10 ≈ 63,33
c) Mốt của mẫu số liệu:
M$_{0}$=50+($\frac{14-10}{2.14-10-6}$).10 ≈ 53,33