CHƯƠNG VI. HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
BÀI 1. PHÉP TÍNH LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC
I. Phép tính lũy thừa với số mũ nguyên
Bài 1:
a) Cho n là một số nguyên dương. Với a là số thực tùy ý, nêu định nghĩa lũy thừa bậc n của a
b) Với a là số thực tùy ý khác 0, nêu quy ước xác định lũy thừa bậc 0 của a.
Đáp án:
a) Cho n là một số nguyên dương. Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a. Khi đó: a$^{n}$=a.a. ….a⏟n thừa số a
b) Với a≠0 thì a$^{0}$=1
Bài 2: Tính giá trị của biểu thức…
Đáp án:
M=($\frac{1}{3}$)$^{12}$.($\frac{1}{27}$)$^{-5}$+(0,4)$^{-4}$.25$^{-2}$.($\frac{1}{32}$)$^{-1}$
=$\frac{1}{3^{12}}$ . 3$^{15}$+$\frac{5^{4}}{2^{4}}$ .$\frac{1}{5^{4}}$ . 2$^{5}$
=3$^{3}$+2=29
Bài 3:
a) Với a là số thực không âm, nêu định nghĩa căn bậc hai của a
b) Với a là số thực tùy ý, nêu định nghĩa căn bậc ba của a
Đáp án:
a) Căn bậc hai của một số thực a không âm, kí hiệu là $\sqrt{a}$ là số x sao cho x$^{2}$=a.
b) Căn bậc ba của một số a tùy ý, kí hiệu là $\sqrt[3]{a}$ là số x sao cho x$^{3}$=a.
Bài 4: Các số 2 và – 2 có là căn bậc 6 của 64 hay không?
Đáp án:
Do 2$^{6}$=(-2)$^{6}$=64
=> 2 và -2 là căn bậc 6 của 64
Bài 5:
a) Với mỗi số thực a, so sánh…
Đáp án:
a) +) Với $\sqrt{a^{2}}$≥0;|a|≥0
($\sqrt{a^{2}}$)$^{2}$=a$^{2}$; (|a|)$^{2}$=a$^{2}$
=> $\sqrt{a^{2}}$=|a|
+) ($\sqrt[3]{a^{3}}$)$^{3}$=a$^{3}; a$^{3}=a$^{3}
=> $\sqrt[3]{a^{3}}$=a
b) Với a,b>0
($\sqrt{a.b}$)$^{2}$=a.b; ($\sqrt{a}$.$\sqrt{b}$)$^{2}$=a.b
=> $\sqrt{a.b}$=$\sqrt{a}$.$\sqrt{b}$
Bài 6: Rút gọn mỗi biểu thức sau…
Đáp án:
a) $\sqrt[3]{\frac{125}{64}}$.$\sqrt[4]{81}$=$\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{64}}$.3=$\frac{15}{4}$
b) $\frac{\sqrt[5]{98}.\sqrt[5]{343}}{\sqrt[5]{64}}$=$\sqrt[5]{\frac{2.7^{2}.7^{3}}{2^{6}}}$=$\frac{\sqrt[5]{7^{5}}}{\sqrt[5]{2^{5}}}$=$\frac{7}{2}$
Bài 7: Thực hiện các hoạt động sau…
Đáp án:
a) 2$^{\frac{6}{3}}$=2$^{2}$
b) 2$^{\frac{6}{3}}$=$\sqrt[3]{2^{6}}$=$\sqrt[3]{(2^{2})^{3}}$=2$^{2}$
Bài 8: Rút gọn biểu thức…
Đáp án:
N=$\frac{x^{\frac{4}{3}}y+xy^{\frac{4}{3}}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}$ Với x>0,y>0
=$\frac{\sqrt[3]{x^{4}}y+x\sqrt[3]{y^{4}}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}$=$\frac{xy(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y})}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}$ =xy
II. Phép tính lũy thừa với số mũ thực
Bài 1: Xét số vô tỉ:…
Đáp án:
Dự đoán: 3$^{\sqrt{2}}$≈4,72
Bài 2: So sánh 10$^{\sqrt{2}}$ và 10
Đáp án:
Do 10$^{\sqrt{2}}$≈25,95 => 10$^{\sqrt{2}}$>10
Bài 3: Nêu những tính chất của phép tính lũy thừa với số mũ nguyên của một số thực dương
Đáp án:
+ a$^{\alpha }$.a$^{\beta }$=a$^{\alpha +\beta }$
+ (ab)$^{\alpha }$=a$^{\alpha }$.b$^{\alpha }$
+ ($\frac{a}{b}$)$^{\alpha }$=ab
+ ($\frac{a^{\alpha }}{b^{\beta }}$)=a$^{\alpha -\beta }$
+ (a$^{\alpha }$)$^{\beta }$=a$^{\alpha .\beta }$.
+ Nếu a>1 thì a$^{\alpha }$>a⇔α>β.
+ Nếu 0<a<1 thì a$^{\alpha }$>a⇔α<β.
Bài 4: Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh các số…
Đáp án:
Ta có: 2$\sqrt{3}$=4.$\sqrt{3}$=$\sqrt{12}$
3$\sqrt{2}$=$\sqrt{9}$.$\sqrt{2}$=$\sqrt{18}$
Vì $\sqrt{12}$<$\sqrt{18}$⟺2$\sqrt{3}$<3$\sqrt{2}$
=> 2$^{2\sqrt{3}}$<2$^{3\sqrt{2}}$.
Bài 5: Dùng máy tính cầm tay để tính…
Đáp án:
a) (-2,7)$^{-4}$ ≈0,02
b) (3-1)$^{\sqrt[3]{4}+1}$≈0,45
III. Bài tập
Bài 1: Tính…
Đáp án:
a)($\frac{1}{256}$)$^{-0,75}$+($\frac{1}{27}$)$^{-\frac{4}{3}}$
=256$^{\frac{3}{4}}$+27$^{\frac{4}{3}}$=$\sqrt[4]{(4^{3})^{4}}$+$\sqrt[3]{(3^{4})^{3}}$=145
b)($\frac{1}{49}$)$^{-1,5}$-($\frac{1}{125}$)$^{-\frac{2}{3}}$
=49$^{\frac{3}{2}}$-125$^{\frac{2}{3}}$=$\sqrt[2]{(7^{3})^{2}}$+$\sqrt[3]{(5^{2})^{3}}$=318
c) 4$^{\sqrt{3}+3}$-4$^{\sqrt{3}-1}$.2$^{-2\sqrt{3}}$
=4$^{\sqrt{3}+3}$.2$^{-2\sqrt{3}}$-4$^{\sqrt{3}-1}$.2$^{-2\sqrt{3}}$=2$^{2\sqrt{3}}+6-^{-2\sqrt{3}}$-2$^{2\sqrt{3}}-3-^{-2\sqrt{3}}$ =$\frac{255}{4}$
Bài 2: Cho a, b là những số thực dương. Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ:…
Đáp án:
a) a$^{\frac{1}{3}}$.$\sqrt{a}$=a$^{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}$=a$^{\frac{5}{6}}$
b) b$^{\frac{1}{2}}$.b$^{\frac{1}{3}}$.$\sqrt[6]{b}$=b$^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}$=b
c) a$^{\frac{4}{3}}$:$\sqrt[3]{a}$=a$^{\frac{4}{3}-\frac{1}{3}}$=a
d) $\sqrt[3]{b}$:b$^{\frac{1}{6}}$=b$^{\frac{1}{3}-\frac{1}{6}}$=b$^{\frac{1}{6}}$
Bài 3: Rút gọn mỗi biểu thức sau…
Đáp án:
a) $\frac{a^{\frac{7}{3}}-a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{4}{3}}-a^{\frac{1}{3}}}$=$\frac{a^{\frac{1}{3}}.(a^{2}-1)}{a^{\frac{1}{3}}(a-1)}$=$\frac{(a-1)(a+1)}{a-1}$=a+1
b) $\sqrt[3]{\sqrt{(a^{4})^{3}.(b^{2})^{3}}}$ (a>0;b>0)
=$\sqrt[3]{(\sqrt{a^{4}})^{3}.(\sqrt{b^{2}})^{3}}$ =a$^{2}$.b
Bài 4: Viết các số sau theo thứ tự tăng dần…
Đáp án:
a) Ta có: 1$^{1,5}$=1; 3$^{-1}$=$\frac{1}{3}$;($\frac{1}{2}$)$^{-2}$=2$^{2}$=4.
=> 3$^{-1}$;1$^{1,5}$;($\frac{1}{2}$)${-2}$
b) Ta có: 2022$^{0}$=1; ($\frac{4}{5}$)$^{-1}$=$\frac{5}{4}$;5$^{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{5}$.
=> 2022$^{0}$;45)$^{-1}$;5$^{\frac{1}{2}}$.
Bài 5: Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh các số sau…
Đáp án:
a) 6$^{\sqrt{3}}$ và 36
36=6$^{2}$=6$^{\sqrt{4}}$
Mà $\sqrt{3}$<$\sqrt{4}$⟺6$^{\sqrt{3}}$<36
b) (0,2)$^{\sqrt{3}}$ và (0,2)$^{\sqrt{5}}$
Có $\sqrt{3}$<$\sqrt{5}$⟺(0,2)$^{\sqrt{3}}$>(0,2)$^{\sqrt{5}}$
Bài 6: Định luật thứ ba của Kepler về quỹ đạo chuyển động cho biết cách ước tính khoảng thời gian P…
Đáp án:
Số năm ở Trái Đất mà sao Hỏa quay quanh Mặt Trời là:
P=1,52$^{\frac{3}{2}}$≈1,87 (AU)