Bài 1 trang 25 SBT Toán 8 tập 1 CTST: Thực hiện các phép nhân phân thức sau:
a) $\frac{3}{5a}.\frac{b}{5}$
b) $\frac{2a}{3}.\frac{ 6}{4b}$
c) $\frac{a^{2}} {15} . \frac{ 5}{a}$
d) $\frac{18}{a^{3}} . \frac{ a^{2}}{30a}$
Giải
a) $\frac{3}{5a}.\frac{b}{5} = \frac{ 3.2b}{5a 5} = \frac{ 6b}{25a}$
b) $\frac{2a}{3}.\frac{ 6}{4b} = \frac{2a . 6}{3. 4b} = \frac{ a}{b}$
c) $\frac{a^{2}} {15} . \frac{ 5}{a} = \frac{ a^{2} .5}{15.a} = \frac{ a}{3}$
d) $\frac{18}{a^{3}} . \frac{ a^{2}}{30a}= \frac{ 18.a^{2}}{a^{3}.30a}= \frac{ 3}{5a^{2}}$
Bài 2 trang 25 SBT Toán 8 tập 1 CTST: Thực hiện các phép nhân phân thức sau:
a) $\frac{5x}{4y} .\frac{ 6y}{5x^{2}}$
b) $\frac{3x^{2}}{21y^{2}} . ( -7y)$
c) $12xy . \frac{1}{18 xy^{3}}$
d) $\frac{ -6x}{5y} . \frac{ 10y^{2}}{-8x^{3}}$
Giải
a) $\frac{5x}{4y} .\frac{ 6y}{5x^{2}} = \frac{5x . 6y}{4y.5x^{2}}= \frac{ 5x . 2y.3}{2.2y.5x.x} = \frac{3}{2x}$
b) $\frac{3x^{2}}{21y^{2}} . ( -7y)= \frac{3x^{2} .(-7y)}{21y^{2}} = \frac{ -21y.x^{2}}{21y.y} = -\frac{x^{2}}{y}$
c) $12xy . \frac{1}{18 xy^{3}} = \frac {12xy.1}{18xy^{3}} = \frac{ 6xy.2}{6xy.3y^{2}} = \frac{ 2}{3y^{2}} $
d) $\frac{ -6x}{5y} . \frac{ 10y^{2}}{-8x^{3}}= \frac{-6.10y^{2}}{5y.(-8x^{3})} = \frac{ 3y}{2x^{2}}$
Bài 3 trang 25 SBT Toán 8 tập 1 CTST: Tính:
a) $\frac{x^{2} -2xy}{y} . \frac{y^{2}}{x}$
b) $\frac{x^{2} - 9y^{2}}{3xy^{2}} . \frac{ xy}{x + 3y}$
c) $ \frac{1-x^{2} }{2x +4y} .\frac{ x^{2} + 4xy + 4y^{2}}{3 - 3x}$
d) $\frac{ x^{3} - y^{3}}{x+ y} . \frac{ x^{2} - y ^{ 2}}{x^{2} + xy + y^{2}}$
Giải
a) $\frac{ x^{2} - 2xy}{y} . \frac{ y^{2}}{x} = \frac{ ( x^{2} - 2xy) . y^{2}}{x.y}$
$= \frac{x(x-2y) y^{2}}{x.y} = ( x -2y)y$
b) $\frac{x^{2} - 9y^{2}}{3xy^{2}} . \frac{ xy}{x + 3y}$
$= \frac{(x^{2}- 9y^{2}) .xy}{3xy^{2}.(x+ 3y}$
c) $ \frac{1-x^{2} }{2x +4y} .\frac{ x^{2} + 4xy + 4y^{2}}{3 - 3x}$
= $\frac{(1+x)(1-x)}{2(x+ 2y)} . \frac{(x+ 2y)^{2}}{3(1-x)}$
= $\frac{(1+x)(1-x).(x+2y)^{2}}{2(x+2y).3(1-x)}$
d) $\frac{ x^{3} - y^{3}}{x+ y} . \frac{ x^{2} - y ^{ 2}}{x^{2} + xy + y^{2}}$\
=$\frac{x-y)(x^{2}+xy+y^{2}}{x+y} .\frac{(x+y)(x-)}{x^{2}+xy+y^{2}}=(x-y)^{2}$
Bài 4 trang 25 SBT Toán 8 tập 1 CTST: Thực hiện các phép chia phân thức sau:
a)$\frac{5x}{6y}:\frac{10x^{2}}{9}$
b)$\frac{-y}{8}:\frac{x^{2}}{4y}$
c)$\frac{7}{9x^{2}}:\frac{-14y}{3x^{3}}$
d)$\frac{3x}{2y}:(6x^{2}y^{2})$
Giải
a)$\frac{5x}{6y}:\frac{10x^{2}}{9}$
=$\frac{5x}{6y}.\frac{9}{10x^{2}} =\frac{5x.3.3}{.2y.5x.2x}$
$=\frac{3}{2y.2x}=\frac{3}{4xy}$
b)$\frac{-y}{8}:\frac{x^{2}}{4y}$
=$\frac{-xy}{8}.\frac{4y}{x^{2}}=\frac{-xy.4y}{8x^{2}}=\frac{-4x.y^{2}}{4x.2x} = \frac{-y^{2}}{2x}$
c)$\frac{7}{9x^{2}}:\frac{-14y}{3x^{3}}$
=$\frac{7.3x^{2}.x}{3x^{2}.3.7.(-2y)}=\frac{x}{3.(-2y)}=- \frac{x}{6y}$
d)$\frac{3x}{2y}:(6x^{2}y^{2})$
=$\frac{3x}{2y}.\frac{1}{6x^{2}y^{2}}=\frac{3x.1}{2y.6x^{2}y^{2}} = \frac{3x}{2y^{3}.3x.2x} = \frac{1}{2y^{3}.2x} = \frac{1}{4xy^{3}}$
Bài 5 trang 25 SBT Toán 8 tập 1 CTST: Tính
a)$\frac{x^{2} - 5x}{4y^{2}} : \frac{5x}{2y}$
b)$\frac{x^{2}-1}{y}:\frac{x+1}{y^{2}}$
c)$(x^{2} - 2xy) : \frac{5x - 10y}{x}$
d)$\frac{x^{2} -x}{x-y}:(x^{2} + xy)$
e)$ (16 -x^{2}) : (x^{2} -4x)$
g)$\frac{4y^{2} -x^{2}}{x^{2}+2xy + y^{2}} : \frac{x -2y}{2x^{2} + 2xy}$
Giải
a)$\frac{x^{2} - 5x}{4y^{2}} : \frac{5x}{2y}$
=$\frac{x^{2} -5x}{4y^{2}}.\frac{2y}{5x} = \frac{x(x-5)}{2y.2y} . \frac{2y}{5x}$
=$\frac{x(x-).2y}{2y.2y.5x} = \frac{x -5}{2y.5} =\frac{x-5}{10y}$
b)$\frac{x^{2}-1}{y}:\frac{x+1}{y^{2}}$
=$\frac{x^{2}-1}{y}.\frac{y^{2}}{x+1} =\frac{(x+1)(x-1)}{y} .\frac{y^{2}}{x+1}$
=$\frac{(x+1)(x-1)y^{2}}{y(x+1)} = (x-1)y$
c)$(x^{2} - 2xy) : \frac{5x - 10y}{x}$
=$x(x-2y).\frac{x}{5(x-2y)} = \frac{x(x-2y)x}{5(x -2y)}=\frac{x^{2}}{5}$
d)$\frac{x^{2} -x}{x-y}:(x^{2} + xy)=\frac{x(x-1)}{x-y} . \frac{1}{x(x+y)}$
=$\frac{x(x-1)}{(x-y)x(x+y)} = \frac{x-1}{x^{2} -y^{2}}$
e)$ (16 -x^{2}) : (x^{2} -4x)$
g)$\frac{4y^{2} -x^{2}}{x^{2}+2xy + y^{2}} : \frac{x -2y}{2x^{2} + 2xy}$
$=\frac{-(x^{2} - 4y^{2})}{(x+y)^{2}}.\frac{2x^{2} + 2xy}{x-2y}$
=$\frac{-(x+2y)(x-2y).2x(x+y)}{(x+y)^{2}.(x-2y)} = - \frac{2x(x+2y)}{x+y}$
Bài 6 trang 25 SBT Toán 8 tập 1 CTST: Năm ngoái, trên diện tích a (ha) nông trại thu hoạch được m (tấn) khoai lang. Năm nay so với năm ngoái, nông trại giảm 3 ha diện tích trồng khoai lang, nhưng nhờ cải tiến kĩ thuật, sản lượng khoai lang tăng thêm 4 tấn.
a) Năng suất khoai lang của nông trại năm nay gấp bao nhiêu lần so với năm ngoái? (Trả lời dưới dạng một phân thức.)
b) Tính giá trị của phân thức tìm được ở câu a) với a = 13 và m = 156.
Giải
a) Năng suất năm ngoái là: $P = \frac{m}{a}$ ( tấn/ha)
Diện tích trồng khoai của năm nay là: a – 3 (ha).
Sản lượng khoai lang năm nay là: m + 4 (tấn).
Năng suất năm nay là: $P’ = \frac{m+4}{a-3}$ (tấn/ha)
Ta có: $\frac{P’}{P} = \frac{m+4}{a-3} : \frac{m}{a} = \frac{a(m+4)}{m(a-3)}$
Vậy năng suất khoai lang của nông trại năm nay gấp
$\frac{a(m+4)}{m(a-3)}$ lần so với năm ngoái
b) Với a =13 và m = 156, ta có:
$\frac{P’}{P} = \frac{13.(156+ 4)}{156.(13-3)}=\frac{13.16}{13.12}=\frac{4}{3}$
Bài 7 trang 25 SBT Toán 8 tập 1 CTST: Thu gọn các biểu thức sau:
a) $\frac{16-a^{2}}{a^{2} + 8a + 16}:\frac{a-4}{2a+4} . \frac{a+4}{a+2}$
b) $\frac{a^{2} -ab+b^{2}}{b^{2} -a^{2}} .\frac{a+b}{a^{3}+b^{3}}:\frac{a+b}{a-b}$
c) $(\frac{2a}{a-2} - \frac{a}{a+2}). \frac{a^{2} -4}{a}$
d) $(\frac{1}{a^{2}}- \frac{1}{ab}). \frac{ab^{2}}{a-b}$
Giải
a) $\frac{16-a^{2}}{a^{2} + 8a + 16}:\frac{a-4}{2a+4} . \frac{a+4}{a+2}$
$=\frac{(4+a)(4-a)}{(a+4^{2}}.\frac{2a+4}{a-4}.\frac{a+4}{a+2}$
$=\frac{-(4+a)(4-a).2(a+2)(a+4)}{(a+4^{2}).(a-4).(a+2)}=-2$
b) $\frac{a^{2} -ab+b^{2}}{b^{2} -a^{2}} .\frac{a+b}{a^{3}+b^{3}}:\frac{a+b}{a-b}$
$=-\frac{a^{2} -ab+b^{2}}{(a+b)(a-b)} . \frac{a+b}{(a+b)(a^{2} -ab+b{2}) }. \frac{a-b}{a+b}$
=$\frac{-1}{(a+b)^{2}}$
c) $(\frac{2a}{a-2} - \frac{a}{a+2}). \frac{a^{2} -4}{a}$
=$(\frac{2a}{a-2} - \frac{a}{a+2}).\frac{(a+2)(a-2)}{a}$
=$\frac{2a}{a-2}.\frac{(a+2)(a-2)}{a} - \frac{a}{a+2} . \frac{(a+2)(a-2)}{a}$
=$2(a+2) - (a-2) = 2a+4 -a + 2 = a+6$
d) $(\frac{1}{a^{2}}- \frac{1}{ab}). \frac{ab^{2}}{a-b}$
=$ (\frac{b}{a^{2}b}- \frac{b}{a^{2}b}). \frac{ab^{2}}{a-b}$
=$\frac{b-a}{a^{2}b}.\frac{ab^{2}}{a-b} = \frac{-(a-b).ab.b}{ab.a.(a-b)} =-\frac{b}{a}$
Bài 8 trang 25 SBT Toán 8 tập 1 CTST: TÍnh
a) $(\frac{1}{y} + \frac{2}{x-y}) (x -\frac{x^{2} + y^{2}}{x+y})$
b) $(\frac{x}{x+1} + 1) : (1 - \frac{3x^{2}}{1-x^{2}})$
Giải
a) $(\frac{1}{y} + \frac{2}{x-y}) (x -\frac{x^{2} + y^{2}}{x+y})$
=$(\frac{x-y}{y(x-y)} + \frac{2y}{y(x-y)})(\frac{x(x+y)}{x+y} - \frac{x^{2} + y^{2}}{x+y})$
=$\frac{x-y + 2y}{(y(x-y)}.\frac{x^{2}+xy-x^{2} -y^{2}}{x+y}$
=$\frac{x+y}{y(x-y}.\frac{xy-y^{2}}{x+y} $
=$\frac{(x+y).y(x-y)}{y(x-y).(x+y)} = 1$
b) $(\frac{x}{x+1} + 1) : (1 - \frac{3x^{2}}{1-x^{2}})$
= $(\frac{x}{x+1} +(\frac{x+1}{x+1}):(\frac{1-x^{2}}{1-x^{2}} - \frac{3x^{2}}{1-x^{2}})$
=$\frac{x+ x+1}{x+1} : \frac{1-x^{2} -3x^{2}}{1-x^{2}}$
=$\frac{2x+1}{x+1}: \frac{1-4x^{2}}{1-x^{2}}$
=$\frac{2x+1}{x+1}: \frac{1-x^{2}}{1-4x^{2}}$
=$\frac{2x+1}{x+1}: \frac{(1-x)(1-x)}{(1+2x)(1-2x)}$
=$\frac{1-x}{1-2x} = \frac{-(x-1)}{-(2x -1)} = \frac{x-1}{2x-1}$