Luyện tập 1: Đồ thị nào dưới đây có một đường đi Euler? Hãy chỉ ra một đường đi Euler của nó.
Bài Làm:
Đồ thị 2.19a liên thông, chỉ có hai đỉnh A và B có bậc lẻ (bậc bằng 3), các đỉnh còn lại đều bậc chẵn. Do đó đồ thị có đường đi Euler. Đường đi Euler trong đồ thị: ACBEADB.
Đồ thị 2.19b liên thông nhưng tất cả các đỉnh đều có bậc lẻ nên đồ thị không có đường đi Euler.
Trong: Giải chuyên đề Toán 11 kết nối bài 9 Đường đi Euler và đường đi Hamilton
Trong lí thuyết đồ thị, bài toán Bảy cây cầu ở Konigsberg (nay là thành phố Kaliningrad, nước Nga) được phát biểu như sau: Thành phố có 7 cây cầu bắc qua sông như Hình 2.15a dưới đây; có thể nào đi qua khắp các cây cầu nhưng mỗi cầu chỉ đi qua một lần không?
Nếu ta coi mỗi khu vực A, B, C, D của thành phố là một đỉnh, mỗi cầu qua lại hai khu vực như một cạnh nối hai đỉnh, thì bản đồ thành phố Konigsberg là một đa đồ thị như Hình 2.15b. Vấn đề đặt ra chính là: Có thể vẽ được Hình 2.15b bằng một nét liền hay không?
a) Khái niệm đường đi Euler
Hoạt động 1: Nhận biết đường đi Euler
Hãy thử vẽ mỗi hình trên Hình 2.16 bằng một nét liền.
Hoạt động 2: Nhận biết đường đi Hamilton
Có 5 thành phố du lịch A, B, C, D, E và các con đường nối các thành phố này như Hình 2.20. Hãy chỉ ra một cách để đi tham quan cả 5 thành phố đó, mà không cần đến địa điểm nào quá một lần.
Luyện tập 2: Đồ thị nào trong Hình 2.23 có đường đi Hamilton? Hãy chỉ ra một đường đi Hamilton của nó.
2.7. Mỗi đồ thị sau có một chu trình Euler hoặc một chu trình Hamilton hay không? Hãy vẽ một chu trình Euler hoặc một chu trình Hamilton khi có thể.
2.8. Có thể nào đi dạo chơi qua các cây cầu trong Hình 2.25, mỗi cây cầu vừa đúng một lần?
2.11. Hãy chỉ ra một ví dụ chứng tỏ rằng điều kiện bậc của mỗi đỉnh của đồ thị G không nhỏ hơn $\frac{n}{2}$ trong Định lí Dirac, không thể thay bằng điều kiện "bậc của mỗi đỉnh không nhỏ hơn $\frac{n-1}{2}$".
2.12. a) Giả sử G là một đồ thị với n đỉnh và $\frac{(n-1)(n-2)}{2}+2$ cạnh. Sử dụng Định lí Ore, hãy chứng minh rằng G có một chu trình Hamilton.
b) Tìm một đồ thị với n đỉnh và $\frac{(n-1)(n-2)}{2}+1$ cạnh mà không có chu trình Hamilton.
2.13. Với giá trị nào của n thì đồ thị đầy đủ $K_{n}$ có một chu trình Euler? Có một đường đi Euler?
2.14. Với giá trị nào của n thì đồ thị đầy đủ $K_{n}$ có một chu trình Hamilton? Có một đường đi Hamilton?
Xem thêm các bài Giải chuyên đề toán 11 kết nối tri thức được biên soạn cho Học kì 1 & Học kì 2 theo mẫu chuẩn của Bộ Giáo dục theo sát chương trình Lớp 11 giúp bạn học tốt hơn.
Giải bài tập SGK, SBT, VBT và Trắc nghiệm các môn học Lớp 11, dưới đây là mục lục các bài giải bài tập sách giáo khoa và Đề thi chi tiết với câu hỏi bài tập, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và 2 (đề kiểm tra học kì 1 và 2) các môn trong chương trình Lớp 11 giúp bạn học tốt hơn.
