3. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC
a) Khái niệm lũy thừa với số mũ thực
Hoạt động 5 trang 7 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Nhận biết lũy thừa với số mũ thực
Ta biết rằng $\sqrt{2}$ là một số vô tỉ và $\sqrt{2}$ = 1,4142135624...
Gọi $r_{n}$ là dãy số hữu tỉ dùng để xấp xỉ số $\sqrt{2}$, với $r_{1}$ = 1; $r_{2}$=1,4; $r_{3}$ = 1,41; $r_{}$= 1,4142;...
a) Dùng máy tính cầm tay, hãy tính: $3^{r_{1}}$; $3^{r_{2}}$; $3^{r_{3}}$; $3^{r_{4}}$ và $3^{\sqrt{2}}$
b) Có nhận xét gì về sai số tuyệt đối giữa $3^{\sqrt{2}}$ và $3^{r_{n}}$, tức là |$3^{\sqrt{2}}$ $3^{r_{n}}$ |, khi n càng lớn?
Bài Làm:
a) $3^{r_{1}}=3^{1}=3$
$3^{r_{2}}=3^{1,4} \approx 4.8688$
$3^{r_{3}}=3^{1,41}\approx 4.9151$
$3^{r_{4}}=3^{1,4142}\approx 4.9208$
$3^{\sqrt{2}}=3^{1,4142135624}\approx 4.9210 $
b,Sai số tuyệt đối giữa $3^{\sqrt{2}}$ và $3^{r_{n}}$ là:
$\left | 3^{\sqrt{2}}-3^{r_{n}} \right |=\left | 3^{\sqrt{2}} \right |.\left | 1-3^{r_{n}-\sqrt{2}} \right |$
Vì $r_{n}$ là một dãy số hữu tỉ dùng để xấp xỉ $\sqrt{2}$, nên khi n tiến đến vô cùng, $r_{n}$ sẽ xấp xỉ $\sqrt{2}$ và $r_{n}-\sqrt{2}$ tiến đến 0. Do đó, ta có:
$lim_{n\to\infty }\left | 3^{\sqrt{2}}-3^{r_{n}} \right |=lim_{n\to\infty }\left | 3^{\sqrt{2}} \right |.\left | 1-3^{r_{n-\sqrt{2}}} \right |=\left | 3^{\sqrt{2}} \right |.lim_{n\to\infty}\left |1-3^{r_{n}-\sqrt{2}} \right |$
Vậy khi n tiến đến vô cùng, sai số tuyệt đối giữa $3^{\sqrt{2}}$ và $3^{r_{n}}$ tiến đến 0, tức là $3^{r_{n}}$ xấp xỉ $3^{\sqrt{2}}$ với độ chính xác cao hơn khi n càng lớn.