Bài tập 9.31 trang 98 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Đồ thị của hàm số $y=\frac{a}{x}$ ( a là hằng số dương) là một đường hypebol. Chứng minh rằng tiếp tuyến tại một điểm bất kì của đường hypebol đó tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích không đổi.
Bài Làm:
$\frac{dy}{dx}=-\frac{a}{a^{2}}$
Phương trình của đường tiếp tuyến tại điểm $(x_{0},y_{0})$
$y-y_{0}=-\frac{a}{x^{2}}(x-x_{0})$
Đường tiếp tuyến cắt trục hoành tại điểm $(x_{0},0)$ và cắt trục tung tại điểm (0,y_{0}+\frac{a}{x_{0})
Diện tích tam giác tạo bởi đường tiếp tuyến và trục hoành là:
$S_{1}=\frac{1}{2}(x_{0}-0).(0-y_{0})=\frac{1}{2}x_{0}y_{0}$
Diện tích tam giác tạo bởi đường tiếp tuyến và trục tung là:
$S_{2}=\frac{1}{2}(y_{0}+\frac{a}{x_{0}}-y_{0})(0-x_{0})=\frac{1}{2}a$
$S=S_{1}+S_{2}=\frac{1}{2}(x_{0}y_{0}+a)=\frac{1}{2}(2a)=a$
Vì vậy, ta đã chứng minh được rằng diện tích của tam giác tạo bởi đường tiếp tuyến và các trục toạ độ là không đổi và bằng $a$, với
$a$ là hằng số dương của đường hyperbol.
