Bài tập 7.2 trang 30 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng tứ diện ACB'D' có các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau.
Bài Làm:
Gọi O là trung điểm của AC, khi đó ta có:
AB' = AO + OB'
CD' = CO + OD'
Vì AB' và CD' có cùng độ dài và vuông góc với AC nên chúng cũng cùng vuông góc với nhau nếu và chỉ nếu:
AB' · CD' = 0
Ta có:
AB' · CD' = (AO + OB') · (CO + OD')
= AO · CO + AO · OD' + OB' · CO + OB' · OD'
Vì AO = CO, OB' = OD' và AB' // CD', nên ta có: AO · OD' = CO · OB' = 0
=> AB' · CD' = 0
Vậy ta đã chứng minh được rằng tứ diện ACB'D' có các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau.
