Bài tập 7.12 trang 42 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình đóp S.ABC có SA. (ABC), Tam giác ABC vuông tại B, SA=AB=BC=a
a) Xác định hình chiếu của A trên mặt phẳng (SBC)
b) Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABC).
Bài Làm:
a) Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA=AB=a, nên ta có thể kẻ đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) và đi qua A. Gọi đường thẳng này là d1
Từ B, kẻ đường thẳng vuông góc với SB và đi qua A. Gọi đường thẳng này là d2
Giao d1 và d2 tại điểm M
Kết nối A với M. Đoạn thẳng này chính là hình chiếu của A trên mặt phẳng (SBC).
Vậy hình chiếu của A trên mặt phẳng (SBC) là đoạn thẳng AM.
b) Góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) chính là góc giữa SC và đường thẳng AB, được tính bằng công thức:
$cos(SC, AB) = \frac{SC \cdot AB}{\left| SC \right| \cdot \left| AB \right|}$
Do SA=AB=BC=a, ta có SC = 2a. Từ đó:
$cos(SC, AB) = \frac{2a \cdot a}{\left| 2a \right| \cdot \left| a \right|} = \frac{2}{\sqrt{5}}$
Suy ra, góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) là:
$sin^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right) \approx 63.43^{\circ}$
