Bài tập 32 trang 102 SBT toán 8 tập 1 cánh diều:
Cho hình chữ nhật ABCD có hai cạnh kề không bằng nhau. Tia phân giác của các góc A và B cắt nhau tại E. Tia phân giác của các góc C và D cắt nhau tại F. Gọi G là giao điểm của AE và DF, I là giao điểm của BE và CF. Chứng minh:
a) GH // CD; b) Tứ giác GFHE là hình vuông.
Bài Làm:
a) Do ABCD là hình chữ nhật nên
$\widehat{DAB}=\widehat{ABC}=\widehat{BCD}=\widehat{CDA}$ = 90°.
Mà AE, BE, CF, DF lần lượt là các tia phân giác của các góc DAB, ABC, BCD, CDA
=>$\widehat{DAE}=\widehat{EAB}=\widehat{ABE}=\widehat{EBC}=\widehat{BCF}=\widehat{FCD}=\widehat{CDF}=\widehat{FDA}= 45°$.
Do đó, các tam giác EAB, FCD, GAD, HBC đều là tam giác vuông cân.
∆GAD = ∆HBC (g.c.g) => GD = HC. Mà FD = FC => FG = FH.
Do đó, tam giác FGH vuông cân tại F => $\widehat{FGH}$ = 45°.
Ta có: $\widehat{FGH}=\widehat{CDF}$ = 45° và $\widehat{FGH}$, $\widehat{CDF}$ nằm ở vị trí đồng vị nên GH // CD.
b) $\widehat{EGF}=\widehat{AGD}$ = 90° (hai góc đối đỉnh).
Tứ giác GFHE có $\widehat{EGF}=\widehat{GFH}=\widehat{HEG}$ = 90° nên GFHE là hình chữ nhật.
Hình chữ nhật GFHE có FG = FH nên GFHE là hình vuông.
