Bài 29: trang 53 sbt Toán 8 tập 2
Cho a và b là các số dương, chứng tỏ:
\({a \over b} + {b \over a} \ge 2\)
Bài Làm:
Ta có:
\({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0 \)
\(\Rightarrow {a^2} + {b^2} - 2ab \ge 0\)
\(\Rightarrow {a^2} + {b^2} - 2ab + 2ab \ge 2ab \)
\( \Rightarrow {a^2} + {b^2} \ge 2ab\,\,\,(*)\)
\(a > 0,b > 0 \Rightarrow a.b > 0 \Rightarrow {1 \over {ab}} > 0\)
Nhân hai vế của (*) với \({1 \over {ab}}\) ta có:
\(\left( {{a^2} + {b^2}} \right).{1 \over {ab}} \ge 2ab.{1 \over {ab}} \)
\(\Leftrightarrow {{{a^2}} \over {ab}} + {{{b^2}} \over {ab}} \ge 2 \)
\(\Leftrightarrow {a \over b} + {b \over a} \ge 2 \)