Bài tập 25 trang 97 SBT toán 8 tập 1 cánh diều:
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy điểm M thuộc cạnh huyền BC. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng AB, AC.
a) Tứ giác ADME là hình gì? Vì sao?
b) Gọi I là trung điểm của DE. Chứng minh ba điểm A, I, M thẳng hàng.
c) Chứng minh khi điểm M thay đổi vị trí trên cạnh BC thì chu vi của tứ giác ADME không đổi.
d) Điểm M ở vị trí nào trên cạnh BC thì DE có độ dài nhỏ nhất? Tính độ dài nhỏ nhất đó, biết AB = 2 cm.
Bài Làm:
a) Tứ giác ADME có $\widehat{DAE}=\widehat{AEM}=\widehat{MDA}$ = 90° nên ADME là hình chữ nhật.
b) Do ADME là hình chữ nhật nên hai đường chéo DE và AM cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Mà I là trung điểm của DE => I là trung điểm của AM.
Vậy ba điểm A, I, M thẳng hàng.
c) Do ADME là hình chữ nhật nên DM // AC. => $\widehat{BMD}=\widehat{ACB}$ (hai góc so le trong).
Mà $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ = 45° (vì tam giác ABC vuông cân tại A)
=> $\widehat{BMD}=\widehat{ABC}$ = 45°. Do đó tam giác BDM cân tại D. => BD = DM.
Chu vi của hình chữ nhật ADME là: 2(AD + DM) = 2(AD + BD) = 2AB.
Mà AB không đổi nên chu vi của tứ giác ADME không đổi.
d) Do ADME là hình chữ nhật nên AM = DE.
=> DE có độ dài nhỏ nhất khi AM có độ dài nhỏ nhất.
Vậy M là hình chiếu của A trên đường thẳng BC (hình vẽ).
Trong tam giác ABC vuông cân tại A, ta có:
AC = AB = 2 cm và BC2 = AB2 + AC2 = 8 => BC = $\sqrt{8}$ = 2$\sqrt{2}$ cm.
∆ABM = ∆ACM (cạnh góc vuông - góc nhọn) => BM = CM = $\frac{BC}{2}$ = $\sqrt{2}$ cm.
Tam giác ABM vuông tại M có $\widehat{ABM}$ = 45° nên $\widehat{BAM}=\widehat{ABM}$ = 45°.
=> tam giác ABM vuông cân tại M. Do đó AM = BM = $\sqrt{2}$ cm.
Vậy DE = $\sqrt{2}$ cm.
