Bài 7.3: trang 60 sbt Toán 9 tập 2
(Đề thi học sinh giỏi Toán Bulgari – Mùa xuân 1997)
Tìm giá trị của m để phương trình
\(\left[ {{x^2} - 2mx - 4\left( {{m^2} + 1} \right)} \right]\left[ {{x^2} - 4x - 2m\left( {{m^2} + 1} \right)} \right] = 0\)
có đúng ba nghiệm phân biệt.
Bài Làm:
\(\left[ {{x^2} - 2mx - 4\left( {{m^2} + 1} \right)} \right]\left[ {{x^2} - 4x - 2m\left( {{m^2} + 1} \right)} \right] = 0 \)
\(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{{x^2} - 2mx - 4\left( {{m^2} + 1} \right) = 0(1)} \cr {{x^2} - 4x - 2m\left( {{m^2} + 1} \right) = 0(2)} \cr} } \right.\)
Ta xét phương trình (1)
\({x^2} - 2mx - 4\left( {{m^2} + 1} \right) = 0\)
\({\Delta _1}' = {\left( { - m} \right)^2} - 1.\left[ { - 4\left( {{m^2} + 1} \right)} \right] \)
\(= {m^2} + 4\left( {{m^2} + 1} \right) > 0, \forall m\)
Phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt
Ta xét phương trình (2)
\({x^2} - 4x - 2m\left( {{m^2} + 1} \right) = 0\)
\({\Delta _2}' = {\left( { - 2} \right)^2} - 1.\left[ { - 2m\left( {{m^2} + 1} \right)} \right] \)
\(= 4 + 2m\left( {{m^2} + 1} \right) \)
\(= 2{m^3} + 2m + 4\)
Phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi \({\Delta _2}' \ge 0\)
\(\Rightarrow 2{m^3} + 2m + 4 \ge 0 \)
\(\Leftrightarrow {m^3} + m + 2 \ge 0 \)
\(\Leftrightarrow {m^3} + {m^2} - {m^2} - m + 2m + 2 \ge 0 \)
\(\Leftrightarrow {m^2}\left( {m + 1} \right) - m\left( {m + 1} \right) + 2\left( {m + 1} \right) \ge 0 \)
\(\Leftrightarrow \left( {m + 1} \right)\left( {{m^2} - m + 2} \right) \ge 0 \)
Vì \({m^2} - m + 2 = {m^2} - 2.{1 \over 2}m + {1 \over 4} + {7 \over 4} \)
\(= {\left( {m - {1 \over 2}} \right)^2} + {7 \over 4} > 0\)
\( \Rightarrow m + 1 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge - 1\)
Vậy với $m \ge -1 $thì phương trình (2) có nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi sảy ra một trong hai trường hợp sau:
- Trường hợp 1: Phương trình (2) có 1 nghiệm kép khác với nghiệm của phương trình (1).
Ta có: \({\Delta _2}' = 0\) suy ra m = -1 và nghiệm kép phương trình (2): x = 2
Thay $x = 2 $vào phương trình (1) ta có: \(4 - 4m - 4\left( {{m^2} + 1} \right) \ne 0\)
\(\Leftrightarrow 4 - 4m - 4{m^2} - 4 \ne 0 \)
\(\Leftrightarrow - 4m\left( {m + 1} \right) \ne 0 \)
\(\Leftrightarrow m\left( {m + 1} \right) \ne 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{m \ne 0} \cr {m \ne - 1} \cr} } \right.\)Loại vì $m=-1$
- Trường hợp 2: Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt $x_1 $và $x_2, x_1$cũng là nghiệm của phương trình (1).
Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow {\Delta _2}' > 0 \Leftrightarrow m > - 1\)
\(\left\{ {\matrix{{{x_1}^2 - 2m{x_1} - 4\left( {{m^2} + 1} \right) = 0} \cr {{x_1}^2 - 4{x_1} - 2m\left( {{m^2} + 1} \right) = 0} \cr} } \right.\)
\(\Rightarrow \left( {4 - 2m} \right){x_1} + 2m\left( {{m^2} + 1} \right) - 4\left( {{m^2} + 1} \right) = 0 \)
\(\Leftrightarrow \left( {4 - 2m} \right){x_1} + 2{m^3} + 2m - 4{m^2} - 4 = 0 \)
\(\Leftrightarrow \left( {4 - 2m} \right){x_1} + 2\left( {{m^3} - 2{m^2} + m - 2} \right) = 0 \)
\(\Leftrightarrow \left( {4 - 2m} \right){x_1} + 2\left[ {{m^2}\left( {m - 2} \right) + \left( {m - 2} \right)} \right] = 0 \)
\(\Leftrightarrow \left( {4 - 2m} \right){x_1} + 2\left( {m - 2} \right)\left( {{m^2} + 1} \right) = 0 \)
\(\Leftrightarrow 2\left( {2 - m} \right){x_1} + 2\left( {m - 2} \right)\left( {{m^2} + 1} \right) = 0 \)
\(\Leftrightarrow {x_1} = {m^2} + 1\)
Vì $x_1 $cũng là nghiệm của phương trình (1) nên thay \({x_1} = {m^2} + 1\) vào phương trình (1) ta có:
\({\left( {{m^2} + 1} \right)^2} - 2m\left( {{m^2} + 1} \right) - 4\left( {{m^2} + 1} \right) = 0 \)
\(\Leftrightarrow \left( {{m^2} + 1} \right)\left[ {{m^2} + 1 - 2m - 4} \right] = 0\)
\(\Leftrightarrow {m^2} + 1 - 2m - 4 = 0 \)
\(\Leftrightarrow {m^2} - 2m - 3 = 0 \)
\(\Leftrightarrow {m^2} - 3m + m - 3 = 0 \)
\(\Leftrightarrow m\left( {m - 3} \right) + \left( {m - 3} \right) = 0 \)
\(\Leftrightarrow \left( {m - 3} \right)\left( {m + 1} \right) = 0 \)
\(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{m = 3} \cr {m = - 1} \cr} } \right.\)
Vì $m > -1 $nên $m = -1 $loại
Vậy $m = 3. $Thay $m = 3 $vào phương trình (1) và (2) ta có:
Phương trình (1): \({x^2} - 6x - 40 = 0\)
Phương trình (2): \({x^2} - 4x - 60 = 0\)
- Giải phương trình (1):
\({x^2} - 6x - 40 = 0 \)
\(\Delta ' = {\left( { - 3} \right)^2} - 1.\left( { - 40} \right) = 9 + 40 = 49 > 0 \)
\(\Rightarrow \sqrt {\Delta '} = \sqrt {49} = 7 \)
- \({x_1} = {{3 + 7} \over 1} = 10 \)
- \({x_2} = {{3 - 7} \over 1} = - 4 \)
- Giải phương trình (2):
\({x^2} - 4x - 60 = 0 \)
\(\Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} - 1.\left( { - 60} \right) = 4 + 60 = 64 > 0 \)
\(\Rightarrow \sqrt {\Delta '} = \sqrt {64} = 8 \)
- \({x_1} = {{2 + 8} \over 1} = 10 \)
- \({x_2} = {{2 - 8} \over 1} = - 6 \)
Vậy phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm khi $m = 3$