Bài 5.3: trang 56 sbt Toán 9 tập 2
Chứng tỏ rằng phương trình \(\left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right) + \left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right) + \left( {x - c} \right)\left( {x - a} \right) = 0\) luôn có nghiệm.
Bài Làm:
Phá ngoặc và rút gọn vế trái của phương trình đã cho ta được:
$3x^2-2(a+b+c)x+ab+bc+ca=0$
Ta có $\Delta ' = (a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$
$=\frac{1}{2}(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2)$
Vì
- $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 \ge 0$
- $b^2-2bc+c^2=(b-c)^2 \ge 0$
- $c^2-2ca+a^2=(c-a)^2 \ge 0$
Vậy phương trình luôn luôn có nghiệm.