Giải bài 28 trang 55 sbt toán 9 tập 2: Công thức nghiệm thu gọn

Bài 28: trang 55 sbt Toán 9 tập 2

Với những giá trị nào của x thì giá trị của hai biểu thức bằng nhau:

a) \({x^2} + 2 + 2\sqrt 2 \) và \(2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x\)

b) \(\sqrt 3 {x^2} + 2x - 1\) và \(2\sqrt 3 x + 3\)

c) \( - 2\sqrt 2 x - 1\) và \(\sqrt 2 {x^2} + 2x + 3\)

d) \({x^2} - 2\sqrt 3 x - \sqrt 3 \) và \(2{x^2} + 2x + \sqrt 3 \)

e) \(\sqrt 3 {x^2} + 2\sqrt 5 x - 3\sqrt 3 \) và \( - {x^2} - 2\sqrt 3 x + 2\sqrt 5  + 1\)?

Bài Làm:

a)     \({x^2} + 2 + 2\sqrt 2 = 2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x \)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x + 2 + 2\sqrt 2 = 0 \)

\(\Delta ' = {\left[ { - \left( {1 + \sqrt 2 } \right)} \right]^2} - 1.\left( {2 + 2\sqrt 2 } \right) \)

\(= 1 + 2\sqrt 2 + 2 - 2 - 2\sqrt 2 = 1 > 0 \)

\(\Rightarrow \sqrt {\Delta '} = \sqrt 1 = 1 \)

    • \({x_1} = {{1 + \sqrt 2 + 1} \over 1} = 2 + \sqrt 2 \)
    • \({x_2} = {{1 + \sqrt 2 - 1} \over 1} = \sqrt 2 \)

Vậy với \(x = 2 + \sqrt 2 \) hoặc \(x = \sqrt 2 \) thì hai biểu thức bằng nhau.

b)     \(\sqrt 3 {x^2} + 2x - 1 = 2\sqrt 3 x + 3 \)

\(\Leftrightarrow \sqrt 3 {x^2} + \left( {2 - 2\sqrt 3 } \right)x - 4 = 0 \)

\(\Leftrightarrow \sqrt 3 {x^2} + 2\left( {1 - \sqrt 3 } \right)x - 4 = 0 \)

\(\Delta ' = {\left( {1 - \sqrt 3 } \right)^2} - \sqrt 3 \left( { - 4} \right) \)

\(= 1 - 2\sqrt 3 + 3 + 4\sqrt 3 \)

\(= 1 + 2\sqrt 3 + 3 = {\left( {1 + \sqrt 3 } \right)^2} > 0 \)

\(\Rightarrow \sqrt {\Delta '} = \sqrt {{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}^2}} = 1 + \sqrt 3 \)

    • \({x_1} = {{\sqrt 3 - 1 + 1 + \sqrt 3 } \over {\sqrt 3 }} = {{2\sqrt 3 } \over {\sqrt 3 }} = 2 \)
    • \({x_2} = {{\sqrt 3 - 1 - 1 - \sqrt 3 } \over {\sqrt 3 }} = {{ - 2} \over {\sqrt 3 }} = {{ - 2\sqrt 3 } \over 3}\)

Vậy với $x = 2 $hoặc \(x = {{ - 2\sqrt 3 } \over 3}\) thì hai biểu thức bằng nhau.

c)     \(- 2\sqrt 2 x - 1 = \sqrt 2 {x^2} + 2x + 3 \)

\(\Leftrightarrow \sqrt 2 {x^2} + \left( {2 + 2\sqrt 2 } \right)x + 4 = 0 \)

\(\Leftrightarrow \sqrt 2 {x^2} + 2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x + 4 = 0 \)

\(\Delta ' = {\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^2} - \sqrt 2 .4 \)

\(= 1 + 2\sqrt 2 + 2 - 4\sqrt 2 \)

\(= 1 - 2\sqrt 2 + 2 = {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^2} > 0 \)

\(\Rightarrow \sqrt {\Delta '} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}^2}} = \sqrt 2 - 1 \)

    • \({x_1} = {{ - 1 - \sqrt 2 + \sqrt 2 - 1} \over {\sqrt 2 }} = {{ - 2} \over {\sqrt 2 }} = - \sqrt 2 \)
    • \({x_2} = {{ - 1 - \sqrt 2 - \sqrt 2 + 1} \over {\sqrt 2 }} = {{ - 2\sqrt 2 } \over {\sqrt 2 }} = - 2\)

Vậy với \(x =  - \sqrt 2 \) hoặc \(x =  - 2\) thì hai biểu thức bằng nhau.

d)    \({x^2} - 2\sqrt 3 x - \sqrt 3 = 2{x^2} + 2x + \sqrt 3 \)

\(\Leftrightarrow {x^2} + \left( {2 + 2\sqrt 3 } \right)x + 2\sqrt 3 = 0 \)

\(\Leftrightarrow {x^2} + 2\left( {1 + \sqrt 3 } \right)x + 2\sqrt 3 = 0 \)

\(\Delta ' = {\left( {1 + \sqrt 3 } \right)^2} - 1.2\sqrt 3 \)

\(= 1 + 2\sqrt 3 + 3 - 2\sqrt 3 = 4 > 0 \)

\(\Rightarrow \sqrt {\Delta '} = \sqrt 4 = 2 \)

    • \({x_1} = {{ - 1 - \sqrt 3 + 2} \over 1} = 1 - \sqrt 3 \)
    • \({x_2} = {{ - 1 - \sqrt 3 - 2} \over 1} = - 3 - \sqrt 3\)

Vậy với \(x = 1 - \sqrt 3 \) hoặc \(x =  - 3 - \sqrt 3 \) thì hai biểu thức bằng nhau.

e)     \(\sqrt 3 {x^2} + 2\sqrt 5 x - 3\sqrt 3 = - {x^2} - 2\sqrt 3 x + 2\sqrt 5 + 1 \)

\(\Leftrightarrow \left( {\sqrt 3 + 1} \right){x^2} + \left( {2\sqrt 5 + 2\sqrt 3 } \right)x - 3\sqrt 3 - 2\sqrt 5 - 1 = 0 \)

\(\Leftrightarrow \left( {\sqrt 3 + 1} \right){x^2} + 2\left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)x - 3\sqrt 3 - 2\sqrt 5 - 1 = 0 \)

\(\Delta ' = {\left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)^2} - \left( {\sqrt 3 + 1} \right)\left( { - 3\sqrt 3 - 2\sqrt 5 - 1} \right) \)

\(= 5 + 2\sqrt {15} + 3 + 9 + 2\sqrt {15} + \sqrt 3 + 3\sqrt 3 + 2\sqrt 5 + 1 \)

\(= 18 + 4\sqrt 3 + 2\sqrt 5 + 4\sqrt {15} \)

\(= 1 + 12 + 5 + 2.2\sqrt 3 + 2\sqrt 5 + 2.2\sqrt 3 .\sqrt 5 \)

\(= 1 + {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} + 2.1.2\sqrt 3 + 2.1.\sqrt 5 + 2.2\sqrt 3 .\sqrt 5 \)

\(= {\left( {1 + 2\sqrt 3 + \sqrt 5 } \right)^2} > 0 \)

\(\Rightarrow \sqrt {\Delta '} = \sqrt {{{\left( {1 + 2\sqrt 3 + \sqrt 5 } \right)}^2}} = 1 + 2\sqrt 3 + \sqrt 5 \)

  • \({x_1} = {{ - \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right) + 1 + 2\sqrt 3 + \sqrt 5 } \over {\sqrt 3 + 1}} \)

\(= {{1 + \sqrt 3 } \over {\sqrt 3 + 1}} = 1 \)

  • \({x_2} = {{ - \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right) - 1 - 2\sqrt 3 - \sqrt 5 } \over {\sqrt 3 + 1}} \)

\(= {{ - 1 - 3\sqrt 3 - 2\sqrt 5 } \over {\sqrt 3 + 1}} \)

\(=\frac{(- 1 - 3\sqrt 3 - 2\sqrt 5)(\sqrt 3 -1)}{(\sqrt 3 + 1)(\sqrt 3 -1)}\)

\(= \sqrt 3 + \sqrt 5 -4- \sqrt {15}\)

Vậy với \(x = 1\) hoặc \(x = \sqrt 3 + \sqrt 5 -4- \sqrt {15}\) thì hai biểu thức bằng nhau.

Xem thêm Bài tập & Lời giải

Trong: Sbt toán 9 tập 2 bài 5: Công thức nghiệm thu gọn Trang 55

Bài 27: trang 55 sbt Toán 9 tập 2

Xác định a, b’, c trong mỗi phương trình, rồi giải phương trình bằng công thức nghiệm thu gọn:

a) \(5{x^2} - 6x - 1 = 0\)

b) \( - 3{x^2} + 14x - 8 = 0\)

c) \(- 7{x^2} + 4x = 3\)

d) \(9{x^2} + 6x + 1 = 0\)

Xem lời giải

Bài 29: trang 55 sbt Toán 9 tập 2

Một vận động viên bơi lội nhảy cầu (xem hình 5). Khi nhảy, độ cao h từ người đó tới mặt nước (tính bằng mét) phụ thuộc vào khoảng cách x từ điểm rơi đến chân cầu (tính bằng mét) bởi công thức:

\(h =  - {\left( {x - 1} \right)^2} + 4\)

Hỏi khoảng cách x bằng bao nhiêu

a) Khi vận động viên ở độ cao 3m?

b) Khi vận động viên chạm mặt nước?

Xem lời giải

Bài 30: trang 56 sbt Toán 9 tập 2

Tính gần đúng nghiệm của phương trình (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai):

a) \(16{x^2} - 8x + 1 = 0\)

b) \(6{x^2} - 10x - 1 = 0\)

c) \(5{x^2} + 24x + 9 = 0\)

d) \(16{x^2} - 10x + 1 = 0\)

Xem lời giải

Bài 31: trang 56 sbt Toán 9 tập 2

Với giá trị nào của x thì giá trị của hai hàm số bằng nhau:

a) \(y = {1 \over 3}{x^2}\)và \(y = 2x - 3\)

b) \(y =  - {1 \over 2}{x^2}\)và \(y = x - 8\)?

Xem lời giải

Bài 32: trang 56 sbt Toán 9 tập 2

Với giá trị nào của m thì:

a) Phương trình \(2{x^2} - {m^2}x + 18m = 0\) có một nghiệm $x = -3.$

b) Phương trình \(m{x^2} - x - 5{m^2} = 0\) có một nghiệm $x = -2?$

Xem lời giải

Bài 33: trang 56 sbt Toán 9 tập 2

Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

a) \({x^2} - 2\left( {m + 3} \right)x + {m^2} + 3 = 0\)

b) \(\left( {m + 1} \right){x^2} + 4mx + 4m - 1 = 0\)

Xem lời giải

Bài tập bổ sung

Bài 5.1: trang 56 sbt Toán 9 tập 2

Giả sử $x_1, x_2$là hai nghiệm của phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) có $\Delta '= 0$.

Điều nào sau đây là đúng?

A) \({x_1} = {x_2} = {b \over {2a}}\)

B) \({x_1} = {x_2} =  - {{b'} \over a}\)

C) \({x_1} = {x_2} =  - {b \over a}\)

D) \({x_1} = {x_2} =  - {{b'} \over {2a}}\)

Xem lời giải

Bài 5.2: trang 56 sbt Toán 9 tập 2

Tìm mối liên hệ giữa a, b, c để phương trình \(\left( {{b^2} + {c^2}} \right){x^2} - 2acx + {a^2} - {b^2} = 0\) có nghiệm.

Xem lời giải

Bài 5.3: trang 56 sbt Toán 9 tập 2

Chứng tỏ rằng phương trình \(\left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right) + \left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right) + \left( {x - c} \right)\left( {x - a} \right) = 0\) luôn có nghiệm.

Xem lời giải

Bài 34: trang 56 sbt Toán 9 tập 2

Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép:

a) \(5{x^2} + 2mx - 2m + 15 = 0\)

b) \(m{x^2} - 4\left( {m - 1} \right)x - 8 = 0\)

Xem lời giải