4.37. Cho AH và DK lần lượt là hai đường cao của tam giác ABC và DEF như Hình 4.39. Chứng minh rằng:
a) Nếu AB = DE; BC = EF và AH = DK thì $\Delta ABC = \Delta DEF$;
b) Nếu AB = DE, AC = DF và AH = DK thì $\Delta ABC = \Delta DEF$.
Bài Làm:
a) Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên AH vuông góc với BC. Do đó, $\widehat{AHB}=90^{\circ}$.
Vì DK là đường cao của tam giác DEF nên DK vuông góc với EF. Do đó, $\widehat{DKE}=90^{\circ}$
Xét $\Delta ABH$ và $\Delta DEK$ có:
$\widehat{AHB}=\widehat{DKE}=90^{\circ}$ (chứng minh trên)
AB = DE (giả thiết)
AH = DK (giả thiết)
Do đó, $\Delta ABH = \Delta DEK$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra, $\widehat{B}=\widehat{E}$ (hai góc tương ứng).
Xét $\Delta ABC$ và $\Delta DEF$ có:
$\widehat{AHB}=\widehat{DKE}=90^{\circ}$ (chứng minh trên)
AB = DE (giả thiết)
BC = EF (giả thiết)
Do đó, $\Delta ABC = \Delta DEF$ (c . g . c).
b) Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên AH vuông góc với BC. Do đó, $\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^{\circ}$.
Vì DK là đường cao của tam giác DEF nên DK vuông góc với EF. Do đó, $\widehat{DKE}=\widehat{DKF}=90^{\circ}$.
Xét $\Delta ABH$ và $\Delta DEK$ có:
$\widehat{AHB}=\widehat{DKF}=90^{\circ}$ (chứng minh trên)
AB = DE (giả thiết)
AH = DK (giả thiết)
Do đó, $\Delta ABH = \Delta DEK$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra, BH = EK.
Xét $\Delta ACH$ và $\Delta DFK$ có:
$\widehat{AHC}=\widehat{DKF}=90^{\circ}$ (chứng minh trên)
AC = DF (giả thiết)
AH = DK (giả thiết)
Do đó, $\Delta ACH = \Delta DFK$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra, CH = FK.
Ta có: BC = BH + HC; EF = EK + FK. Mà BH = EK; HC = FK nên BC = EF.
Xét $\Delta ABC$ và $\Delta DEF$ có:
BC = EF (chứng minh trên)
AC = DF (giả thiết)
AB = DE (giả thiết)
Do đó, $\Delta ABC = \Delta DEF$ (c . c . c).
