BÀI 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
(24 câu)
1. NHẬN BIẾT (7 câu)
Câu 1: Cho hàm số 
có bảng biến thiên như sau:
a) Hãy xét tính đơn điệu của hàm số.
b) Hãy xác định các điểm cực trị và giá trị cực trị của hàm số đã cho.
Trả lời:
a) Hàm số 
đồng biến trên khoảng 
và 
.
Hàm số 
nghịch biến trên khoảng 
và 
.
b) Hàm số đạt cực đại tại điểm 
, giá trị cực đại là 
.
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm , giá trị cực tiểu là 
.
Câu 2: Cho hàm số 
có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số.
Trả lời:
Hàm số 
đồng biến trên khoảng 
Hàm số 
nghịch biến trên khoảng 
và 
.
Câu 3: Cho hàm số 
có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số.
Trả lời:
Hàm số 
đồng biến trên khoảng 
và 
.
Hàm số 
nghịch biến trên khoảng 
và 
.
Câu 4: Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào đồng biến trên 
.
a) 
b) 
c) 
d) 
Trả lời:
a) Ta có hàm số 
không xác định tại điểm 
nên hàm số không đồng biến trên 
.
b) Ta có tập xác định của hàm số là 
.
Vậy hàm số đồng biến trên 
.
c) Ta có tập xác định của hàm số là 
.
Vậy hàm số nghịch biến trên 
.
d) Ta có hàm số 
không xác định tại điểm 
nên hàm số không đồng biến trên 
.
Câu 5: Cho hàm số 
có bảng biến thiên:
a) Tìm khoảng đơn điệu của hàm số.
b) Tìm các điểm cực trị của hàm số.
Trả lời:
a) Hàm số đồng biến trên các khoảng 
và 
.
Hàm số nghịch biến trên các khoảng 
.
b) Tại 
dù đạo hàm không xác định nhưng hàm số 
vẫn xác định và liên tục nên hàm số đạt cực đại tại 
.
Tại 
thì hàm số 
không xác định, vì vậy hàm số không có cực trị tại 
.
Câu 6: Cho hàm số 
xác định, liên tục trên 
và có đồ thị của hàm số 
là đường cong như hình vẽ bên dưới:
Hãy tìm khoảng đơn điệu của hàm số 
.
Trả lời:
Hàm số đồng biến trên 
.
Hàm số nghịch biến trên các khoảng 
và 
.
Câu 7: Cho hàm số 
có đạo hàm 
xác định, liên tục trên 
và 
có đồ thị như hình vẽ bên dưới:
Hãy tìm khoảng đơn điệu của hàm số 
.
Trả lời:
Hàm số đồng biến trên 
và 
.
Hàm số nghịch biến trên 
và 
.
2. THÔNG HIỂU (7 câu)
Câu 1: Tìm khoảng đơn điệu của mỗi hàm số sau:
a) 
; b) 
;
c) 
d) 
Trả lời:
a) 
Tập xác định: 
Ta có: 
Xét 
Ta có bảng biến thiên như sau:
Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng 
và 
.
Hàm số nghịch biến trên khoảng 
.
b) 
Tập xác định: 
.
Ta có: 
Xét 
Ta có bảng biến thiên như sau:
Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng 
và 
.
Hàm số nghịch biến trên các khoảng 
và 
.
c) 
Tập xác định: 
.
Ta có: 
.
Ta có bảng biến thiên như sau:
Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng 
và 
.
d) 
Tập xác định: 
.
Ta có: 
Xét 
Ta có bảng biến thiên như sau:
Kết luận: Hàm số đồng biên trên 
, nghịch biến trên 
.
Câu 2: Tìm cực trị của mỗi hàm số sau:
a) 
b) 
c) 
d) 
Trả lời:
a) Tập xác định: 
.
Ta có: 
.
Xét 
Ta có bảng biến thiên như sau:
Kết luận: Hàm số đạt cực tiểu tại 
và 
, giá trị cực tiểu là 
.
Hàm số đạt cực đại tại 
, giá trị cực đại là 
.
b) Tập xác định: 
.
Ta có: 
.
Xét 
Ta có bảng biến thiên như sau:
Kết luận: Hàm số đạt cực tiểu tại 
, giá trị cực tiểu là 
.
Hàm số đạt cực đại tại 
, giá trị cực đại là 
.
c) Tập xác định: 
.
Ta có: 
.
Ta có bảng biến thiên như sau:
Kết luận: Hàm số đã cho không có cực trị.
d) Tập xác định: .
Ta có: 
.
Xét 
Ta có bảng biến thiên như sau:
Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại điểm 
, giá trị cực đại là 
.
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm 
, giá trị cực tiểu là 
.
Câu 3: Gọi 
là các điểm cực trị của đồ thị hàm số 
. Tính khoảng cách 
.
Trả lời:
Tập xác định: 
.
Ta có: 
Xét 
.
Ta có bảng biến thiên như sau:
Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là 
.
Do đó: 
.
Câu 4: Tìm 
để hàm số 
đồng biến trên tập xác định của nó.
Trả lời:
Tập xác định: 
.
Hàm số đồng biến trên tập xác định khi và chỉ khi:
Vậy 
Câu 5: Cho hàm số 
liên tục trên 
và có đạo hàm 
, 
. Xét tính đơn điệu của hàm số đã cho.
Trả lời:
Ta có: 
Ta có bảng xét dấu như sau:
Kết luận: Hàm số đồng biến trên 
.
Hàm số nghịch biên trên các khoảng 
và 
.
Câu 6: Tìm cực trị của hàm số 
.
Trả lời:
Tập xác định: 
.
Ta có: 
.
Xét 
Ta có bảng biến thiên:
Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại 
, giá trị cực đại là 
.
Hàm số đạt cực tiểu tại 
, giá trị cực tiểu là 
.
Câu 7: Cho hàm số 
, với 
. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số.
Trả lời:
Tập xác định: 
.
Ta có: 
Xét 
Do 
Ta có bảng biến thiên như sau:
Kết luận: Hàm số đồng biến trên 
và 
Hàm số nghịch biến trên 
3. VẬN DỤNG (6 câu)
Câu 1: Cho hàm số 
. Tìm tất cả các giá trị của 
để hàm số đồng biến trên tập xác định.
Trả lời:
Tập xác định: 
.
Ta có: 
.
Với 
, 
. Khi đó 
đổi dấu trên tập xác định khi qua 
. Vậy 
không thỏa mãn.
Với 
ta có hàm số đồng biến khi và chỉ khi:
Vậy 
.
Câu 2: Cho hàm số 
. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của 
để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 
.
Trả lời:
Tập xác định: 
.
Ta có: 
.
Để hàm số đồng biến trên 
thì 
.
Đặt 
.
Mà 
Ta có: 
Vậy 
.
Câu 3: Với giá trị nào của tham số 
thì hàm số 
có cực trị?
Trả lời:
Tập xác định: 
.
Ta có: .
Hàm số có cực đại, cực tiểu 
có 2 nghiệm phan biệt 
Vậy 
thì hàm số có cực đại, cực tiểu.
Câu 4: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số 
để đồ thị hàm số 
có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành?
Trả lời:
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành khi và chỉ khi phương trình 
có 3 nghiệm phân biệt.
Ta có: 
Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 1.
Do 
suy ra 
.
Vậy có 1 giá trị nguyên của tham số thỏa mãn đề bài.
Câu 5: Cho hàm số 
với 
là tham số. Tính tổng bình phương tất cả các giá trị của 
để hàm số có hai điểm cực trị 
thỏa mãn 
.
Trả lời:
Ta có: .
Để hàm số có hai điểm cực trị thỏa mãn yêu cầu đề bài thì: 
Ta có (1)
Mặt khác ta có 
(3)
Từ (2) và (3) ta có: 
Vì 
Vậy tổng bình phương tất cả các giá trị của 
thỏa mãn yêu cầu đề bài là:
Câu 6: Tìm tất cả các giá trị của 
để hàm số 
đồng biến trên 
.
Trả lời:
Ta có: 
.
Hàm số đồng biến trên 
.
Ta thấy giá trị lớn nhất của 
bằng 
nên 
4. VẬN DỤNG CAO (4 câu)
Câu 1: Cho hàm số 
, có bảng xét dấu 
như sau:
Hàm số 
đồng biến trên khoảng nào?
Trả lời:
Ta có: 
.
Hàm số 
đồng biến 
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng 
và 
.
Câu 2: Hàm số 
nghịch biến trên khoảng 
khi nào?
Trả lời:
Ta có: 
.
Đặt: 
, ta có: 
. Với 
thì 
.
Hàm số nghịch biến trên 
khi và chỉ khi hàm số 
nghịch biến trên khoảng 
Xét hàm 
. Ta có: 
Ta có bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta có: 
Câu 3: Cho hàm số 
. Tìm 
để hàm số đã cho đồng biến trên một khoảng có độ dài lớn hơn 1.
Trả lời:
Ta có: 
.
Hàm số đồng biến trên khoảng có độ dài lớn hơn 1 
có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn 
Vậy 
.
Câu 4: Tìm 
để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị và hai điểm cực trị đó nằm về cùng một phía đối với trục hoành.
Trả lời:
Tập xác định: 
.
Ta có: 
có 
.
Để đồ thị hàm số 
có hai cực trị thì 
đổi dấu hai lần, tức là 
có hai nghiệm phân biệt, tương đương
Vì 
nên được 
.
Lúc này, hai nghiệm 
của 
lần lượt là hoành độ các điểm cực trị của hàm số.
Hai điểm cực trị đó nằm cùng 1 phía đối với trục hoành khi và chỉ khi 
, tương đương đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại đúng một điểm, tức là, phương trình 
có duy nhất một nghiệm thực.
Xét 
thì phương trình là 
: phương trình này có đúng một nghiệm thực nên chọn 
.
Xét 
thì phương trình là 
: phương trình này có đúng một nghiệm thực nên chọn .
Xét 
thì phương trình là 
: phương trình này có ba nghiệm thực nên loại 
.
Xét 
thì phương trình là 
: phương trình này có đúng một nghiệm thực nên chọn 
.
Vậy 
.