1. Sử dụng phương pháp quy nạp chứng minh các đằng thức sau với n $\in $ N* :
a) $\left ( 1-\frac{1}{2} \right )\left ( 1-\frac{1}{3} \right )...\left ( 1-\frac{1}{n+1} \right )=\frac{1}{n+1}$
b) $1.4 + 2.7 + ... + n(3n+1) = n(n+1)^{2}$
c) 1.1! + 2.2! + ... + n.n!
d) $n^{3}+(n+1)^{3}+(n+2)^{3}\vdots 9$
Bài Làm:
1.
a) $\left ( 1-\frac{1}{2} \right )\left ( 1-\frac{1}{3} \right )...\left ( 1-\frac{1}{n+1} \right )=\frac{1}{n+1}$
Với n = 1 thì mệnh đề đúng vì: $\left ( 1-\frac{1}{1+1} \right )=\frac{1}{1+1}$
Giả sử mệnh đề đúng với n = k, ta được:
$\left ( 1-\frac{1}{2} \right )\left ( 1-\frac{1}{3} \right )...\left ( 1-\frac{1}{k+1} \right )=\frac{1}{k+1}$
Ta sẽ chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1, tức là:
$\left ( 1-\frac{1}{2} \right )\left ( 1-\frac{1}{3} \right )...\left ( 1-\frac{1}{k+1} \right )\left ( 1-\frac{1}{k+2} \right )=\frac{1}{k+2}$
Thật vậy:
$\left ( 1-\frac{1}{2} \right )\left ( 1-\frac{1}{3} \right )...\left ( 1-\frac{1}{k+1} \right )\left ( 1-\frac{1}{k+2} \right )$
=$\frac{1}{k+1}.\left ( 1-\frac{1}{k+2} \right )=\frac{1}{k+1}.\frac{k+1}{k+2}=\frac{1}{k+2}$
Vậy mệnh đề đúng với mọi n $\in $ N*
b) $1.4 + 2.7 + ... + n(3n+1)= n(n+1)^{2}$
Với n = 1 thì mệnh đề đúng vì $1.(3.1+1)=1.(1+1)^{2}$
Giả sử mệnh đề đúng với n = k, ta có:
$1.4 + 2.7 + ... + k(3k+1)= k(k+1)^{2}$
Ta sẽ chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1, tức là:
$1.4 + 2.7 + ... + k(3k+1) + (k+1)(3k+4)= (k+1)(k+2)^{2}$
Thật vậy:
$1.4 + 2.7 + ... + k(3k+1) + (k+1)(3k+4)$
=$k(k+1)^{2}+(k+1)(3k+4)=(k+1)[k(k+1)+3k+4]=(k+1)(k+2)^{2}$
Vậy mệnh đề đúng với mọi n $\in $ N*
c) 1.1! + 2.2! + ... + n.n! = (n+1)! - 1
Với n = 1 thì mệnh đề đúng vì 1.1! = 2! - 1
Giả sử mệnh đề đúng với n = k, ta có:
1.1! + 2.2! + ... + k.k! = (k+1)! - 1
Ta sẽ chứng minh mệnh đề đúng với n = k+1, tức là chứng minh:
1.1! + 2.2! + ... + k.k! + (k+1)(k+1)!= (k+2)! - 1
Thật vậy, ta có:
1.1! + 2.2! + ... + k.k! + (k+1)(k+1)!
= (k+1)! - 1 + (k+1)(k+1)!
= (k+2)(k+1)! - 1
= (k+2)! - 1
Vậy mệnh đề đúng với mọi n $\in $ N*
d) $n^{3}+(n+1)^{3}+(n+2)^{3}\vdots 9$
Với n = 1 thì mệnh đề đúng vì: $1^{3}+(1+1)^{3}+(1+2)^{3}\vdots 9$
Giả sử mệnh đề đúng với n = k, ta có:
$k^{3}+(k+1)^{3}+(k+2)^{3}\vdots 9$
Ta sẽ chứng minh mệnh đề đúng với n = k+1, tức là chứng minh:
$(k+1)^{3}+(k+2)^{3}+(k+3)^{3}\vdots 9$
Thật vậy ta có:
$(k+1)^{3}+(k+2)^{3}+(k+3)^{3}=[k^{3}+(k+1)^{3}+(k+2)^{3}]+(k+3)^{3}-k^{3}$
Xét: $(k+3)^{3}-k^{3}=k^{3}+3k^{2}.3+3k.3^{2}+3^{3}-k^{3}$
= $9k^{2}+27k+27\vdots 9$
$\Rightarrow (k+1)^{3}+(k+2)^{3}+(k+3)^{3}\vdots 9$
Vậy mệnh đề đúng với mọi n $\in $ N*