2. Chứng minh số $\sqrt{3}$ là các vô tỉ.
3. Cho các số a, b, c thỏa mãn điều kiện: $\left\{\begin{matrix}a+b+c>0\\ ab+bc+ca>0\\ abc>0\end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng a, b, c là các số dương.
Bài Làm:
2. Giả sử $\sqrt{3}$ là số hữu tỉ thì nó có thể viết dưới dạng $\sqrt{3}=\frac{m}{n}$ với m, n $\in Z^{+}$, (m,n) = 1.
$\Rightarrow m^{2}=3n^{2}$. Tức là $m^{2}\vdots 3$ $\Rightarrow $ m $\vdots $ 3
Vậy m = 3k, k $\in Z^{+}$
$\Rightarrow n^{2}=3k^{2}\Rightarrow n\vdots 3$
Khi đó 3 $\in $ ƯC(m,n). Mà (m, n) = 1 mẫu thuẫn.
Vậy $\sqrt{3}$ là số vô tỉ.
3. Giả sử trong 3 số có ít nhất một số không dương, suy ra số đó phải âm. Ta xét các trường hợp sau:
a) Có đúng một số âm, chẳng hạn c < 0. Khi đó abc < 0 trái giả thiết.
b) Có đúng hai số âm, chẳng hạn b < 0, c < 0. Khi đó bc > 0 và ab + bc + ac = a(b+c) + bc > 0
$\Rightarrow bc>a(-b-c)$
$a+b+c>0\Rightarrow a>-b-c>0$
$\Rightarrow bc>(-b-c)^{2}=(b+c)^{2}\Rightarrow b^{2}+c^{2}+bc<0$ (vô lí)
c) Cả ba số âm. Khi đó a + b + c < 0 trái giả thiết.
Vậy a, b, c là các số dương.