Dạng 5: Phương trình đường tròn
Bài tập 1: Lập phương trình đường tròn (C) biết đường tròn đi qua ba điểm A(-1;3), B(3;5), C(4;-2)
Bài tập 2: Cho đường tròn (C) có phương trình: $x^{2}+y^{2}-4x+8y+18=0$. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A(1;1)
Bài Làm:
Bài tập 1:
Phương trình đường tròn (C) có dạng: $x^{2}+y^{2}-2ax-2by+c=0$
Đường tròn đi qua điểm A(-1;3) nên ta có:
$(-1)^{2}+3^{2}-2a(-1)-2b.3+c=0\Leftrightarrow 2a-6b+c=-10$ (1)
Đường tròn đi qua điểm B(3;5) nên ta có:
$3^{2}+5^{2}-2a.3-2b.5+c=0\Leftrightarrow -6a-10b+c=-34$ (2)
Đường tròn đi qua điểm C(4;-2) nên ta có:
$4^{2}+(-2)^{2}-2a.4-2b.(-2)+c=0\Leftrightarrow -8a+4b+c=-20$ (3)
Từ (1)(2)(3) ta có hệ phương trình:
$\begin{cases}2a-6b+c& = -10\\ -6a-10b+c& = -34\\ -8a+4b+c& =-20\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a& = \frac{7}{3}\\ b& = \frac{4}{3}\\ c& =\frac{-20}{3}\end{cases}$
Ta có phương trình đường tròn có dạng:
$x^{2}+y^{2}-2.\frac{7}{3}x-2.\frac{4}{3}y-\frac{20}{3}=0\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}-\frac{14}{3}x-\frac{8}{3}y-\frac{20}{3}=0$
Bài tập 2:
Ta có: Đường tròn (C) có tâm I(2;-4) và bán kính R = $\sqrt{2^{2}+(-4)^{2}-18}=\sqrt{2}$
Xét điểm A(1;1) có: $1^{2}+1^{2}-4.1+8.1+18\neq 0$. Suy ra, A không thuộc đường tròn (C)
Phương trình đường thẳng đi qua A(1;1) với hệ số góc a có dạng: $\Delta :y=a(x-1)+1$
Để đường thẳng $\Delta $ là tiếp tuyến của đường tròn (C) thì khoảng cách từ tâm I tới $\Delta $ bằng bán kính R:
$d(I,\Delta )=R\Leftrightarrow \frac{\left | 2a+4-a+1 \right |}{\sqrt{a^{2}+1}}=\sqrt{2}\Leftrightarrow \left | a+5 \right |=\sqrt{2(a^{2}+1)}$
$\Leftrightarrow a^{2}+10a+25=2a^{2}+2\Leftrightarrow a^{2}-10a-23=0\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}a&= 5-4\sqrt{3}\\a&= 5+4\sqrt{3}\\\end{matrix}\right.$
- $a=5-4\sqrt{3}$ ta có phương trình tiếp tuyến của (C) là:
$y=(5-4\sqrt{3})x-5+4\sqrt{3}+1\Leftrightarrow y=(5-4\sqrt{3})x-4+4\sqrt{3}$
- $a=5+4\sqrt{3}$ ta có phương trình tiếp tuyến của (C) là:
$y=(5+4\sqrt{3})x-5-4\sqrt{3}+1\Leftrightarrow y=(5+4\sqrt{3})x-4-4\sqrt{3}$