Dạng 4: Phương trình đường thẳng
Bài tập 1: Tìm m để hai đường thẳng $d_{1}$, $d_{2}$ vuông góc với nhau, trong đó:
$d_{1}:\begin{cases}x& = -1+mt\\ y& = -2-2t\end{cases}$ và $d_{2}:\begin{cases}x& = 2-2t'\\ y& = -8+(4+m)t'\end{cases}$
Bài tập 2: Tính góc giữa hai đường thẳng sau: $d_{1}$: 2x + $2\sqrt{3}$y + 4 = 0; $d_{2}$: y - 4 = 0.
Bài Làm:
Bài tập 1:
Đường thẳng $d_{1}:\begin{cases}x& = -1+mt\\ y& = -2-2t\end{cases}$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}}=(m;-2)$
Đường thẳng $d_{2}:\begin{cases}x& = 2-2t'\\ y& = -8+(4+m)t'\end{cases}$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_{2}}=(-2;4+m)$
Để $d_{1}$, $d_{2}$ vuông góc với nhau thì:
$\vec{u_{1}}.\vec{u_{2}}=0\Leftrightarrow \begin{cases}\frac{m}{-2}& \neq \frac{-2}{4+m}\\ m.(-2)+2(4+m)& = 0\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}m^{2}+4m-4& \neq 0\\ -2m+8+2m& = 0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}m& \neq -2+2\sqrt{2};m\neq -2-2\sqrt{2}\\ 8& = 0\end{cases}$
Vậy không tồn tại m thỏa mãn đề bài.
Bài tập 2:
Áp dụng công thức góc giữa hai đường thẳng ta có:
$\cos (d_{1},d_{2})=\frac{\left | a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2} \right |}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}.\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}=\frac{\left | 2\sqrt{3} \right |}{4.1}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
Suy ra: $(d_{1},d_{2})=30^{\circ}$