Giải VNEN toán 9 bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

A. B Hoạt động khởi động và hình thành kiến thức

1. a) Viết tiếp vào chỗ chấm (...) để thực hiện các biến đổi sau

Cho phương trình: $ax^2 + bx + c = 0 (a \neq 0)$. (1)

Chuyển hạng tử tự do sang vế phải: $ax^2 + bx = .......$

Chia hai vế của hệ cho hệ số a ($a \neq 0$): $x^ 2 + \frac{b}{a} x = ..........$

Tách hạng tử $\frac{b}{a}x$ thành $2\times x\times \frac{b}{2a}$

Thêm vào hai vế $(\frac{b}{2a})^2$ để vế trái thành bình phương của một biểu thức:

$x^2 + 2\times x\times \frac{b}{2a} + ......... = -\frac{c}{a} + .........$

Ta được: $(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$ (2)

Kí hiệu: $\Delta = b^2 - 4ac$ và gọi nó là biệt thức của phương trình (1).

b) Viết tiếp vào chỗ chấm (...) để xét các trường hợp của biệt thức $\Delta $

• Nếu  $\Delta $ > 0 thì từ phương trình (2) suy ra: $x + \frac{b}{2a} = \pm .......$

Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm $x_1 = ......;\; x_2 = .........$

• Nếu $\Delta $  = 0 thì từ phương trình (2) suy ra: $(x + \frac{b}{2a})^2 = ....$

Do đó, phương trình (1) có nghiệm kép: $x = ...........$

• Nếu $\Delta $ < 0 thì phương trình (1) vô nghiệm vì $...................$

c) Đọc kĩ nội dung sau (sgk trang 41)

d) Giải các phương trình sau

i) $6x^2 + x - 5 = 0$

ii) $x^2 - 6x + 9 = 0$

iii) $6x^2 - x + 5 = 0$

Hãy nhận xét về dấu của hai hệ số a và c trong phương trình $6x^2 + x - 5 = 0$. Dấu của hai hệ số đó liên quan gì đến dấu của biệt thức?

Em hãy rút ra nhận xét về số nghiệm của phương trình bậc hai trong những trường hợp như vậy.

e) Đọc kĩ nội dung sau (sgk trang 42)

Trả lời:

a) Chuyển hạng tử tự do sang vế phải: $ax^2 + bx = -c$

Chia hai vế của hệ cho hệ số a ($a \neq 0$): $x^ 2 + \frac{b}{a} x = \frac{-c}{a}$

Tách hạng tử $\frac{b}{a}x$ thành $2\times x\times \frac{b}{2a}$

Thêm vào hai vế $(\frac{b}{2a})^2$ để vế trái thành bình phương của một biểu thức:

$x^2 + 2\times x\times \frac{b}{2a} + (\frac{b}{2a})^2 = -\frac{c}{a} + (\frac{b}{2a})^2$

Ta được: $(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$ (2)

b)

• Nếu  $\Delta $ > 0 thì từ phương trình (2) suy ra: $x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm $x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a};\; x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

• Nếu $\Delta $  = 0 thì từ phương trình (2) suy ra: $(x + \frac{b}{2a})^2 = 0$

Do đó, phương trình (1) có nghiệm kép: $x = -\frac{b}{2a}$

• Nếu $\Delta $ < 0 thì phương trình (1) vô nghiệm vì $(x + \frac{b}{2a})^2 < 0$ (vô lý)

c) 

i) $6x^2 + x - 5 = 0$

$\Delta = 1^2 - 4\times 6 \times (-5) = 121 > 0$

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{121}}{2\times 6} = \frac{5}{6};\;x_2 = \frac{-1 - \sqrt{121}}{2\times 6} = -1$

ii) $x^2 - 6x + 9 = 0$

$\Delta = (-6)^2 - 4\times 1 \times 9 = 0$

Vậy phương trình có nghiệm kép: $x = \frac{6}{2} = 3$

iii) $6x^2 - x + 5 = 0$

$\Delta = (-1)^2 - 4\times 6 \times 5 = -119 < 0$

Vậy phương trình vô nghiệm.

Nhận xét: Dấu của hệ số a và c trong phương trình $6x^2 + x - 5 = 0$ là trái dấu.

Khi a và c trái dấu thì biệt thức $\Delta > 0$, và phương trình có hai nghiệm phân biệt.