Lời giải dạng 3 chuyên đề SỐ PHỨC môn toán ôn thi THPT quốc gia

Giải câu 1:

 Gọi $w=x+yi(x,y \in \mathbb{R})$ là căn bậc hai của số phức $z$.

1. $z=-21+20i=(x+yi)^{2}=(x^{2}-y^{2})+2xyi$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}-y^{2}=-21\\ 2xy=20\\ \end{matrix}\right. \Rightarrow  \left\{\begin{matrix} \frac{100}{y^{2}}-y^{2}=-21\\ x=\frac{10}{y}\\ \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 100-y^{4}+21y^{2}=0\\ x=\frac{10}{y} \end{matrix}\right.$

Với $100-y^{4}+21y^{2}=0$ thì $y^{2}=25$ hoặc $y^{2}=-4$ (không thỏa mãn). Do đó $y= \pm 5$

• Nếu $y=5$ thì $x=2$ ta có $w=2+5i$
• Nếu $y=-5$ thì $x=-2$ ta có $w=-2-5i$

Vậy căn bậc hai của $z$ là $2+5i$ hoặc $-2-5i$.

2. Làm tương tự 

ĐS: $w=\sqrt{3}+2i$ và $w=-\sqrt{3}-2i$

 

Giải câu2:

1. $z^{2}-4z+20=0$

$\Delta'=-16=16i^{2}$

 $\Leftrightarrow \left[ \matrix{z=2+4i \hfill \cr z=2-4i\hfill \cr} \right.$

Chú ý: Sử dụng máy tính nhấn MODE 5.

2. $4z^{4}-3z^{2}-1=0$ 

 $\Leftrightarrow \left[ \matrix{z^{2}=1 \hfill \cr z^{2}=-\frac{1}{4}\hfill \cr} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \matrix{z=1 \hfill \cr z=-1\hfill \cr \hfill \cr z=\frac{1}{2}i \hfill \cr z=-\frac{1}{2}i} \right.$

Vậy phương trình có 4 nghiệm là $z=1, z=-1, z=\frac{1}{2}i , z=-\frac{1}{2}i $.

3.Đặt $t=\frac{iz+3}{z-2i}$. Ta có 

$t^{2}-3t-4=0   \Leftrightarrow \left[ \matrix{t=-1 \hfill \cr t=4\hfill \cr} \right.$ 

• Với $t=-1$ thì $\frac{iz+3}{z-2i}=-1  \Leftrightarrow iz+3=-z+2i \Leftrightarrow  z(i+1)=2i-3 \Leftrightarrow z=-\frac{1}{2}+\frac{5}{2}i$
• Với $t=4$ thì $ \frac{iz+3}{z-2i}=4\Leftrightarrow iz+3=4z-8i \Leftrightarrow  z(i-4)=-8i-3 \Leftrightarrow z=\frac{4}{17}+\frac{35}{17}i$

Vậy phương trình có hai nghiệm là $z=-\frac{1}{2}+\frac{5}{2}i$ và $z=-\frac{1}{2}+\frac{5}{2}i$.

 

Giải câu 3:

Vì $z_{1}$ và $z_{2}$ là nghiệm của phương trình $z^{2}+2z+5=0$ nên  $z_{1}=-1+2i$ và $z_{2}=-1-2i$

$A=|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}=|-1+2i|^{2}+|-1-2i|^{2}=10$

$B=|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}-a|\overline{z_{1}}||\overline{z_{2}}|=10-5a$