Chuyên đề tích phân chống Casio

Phương pháp chung: 

Cách 1: Giải theo hình thức tự luận

  • Bước 1: Tính tích phân như bình thường.
  • Bước 2: Dựa vào yêu cầu đề bài và làm tiếp.

Cách 2: Sử dụng máy tính

Ví dụ 1:  Cho tích phân $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}e^{\sin ^{2}x}\sin x \cos^{3}xdx$. Nếu đổi biến $t=\sin ^{2} x$ thì 

A. $I=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}e^{t}(1-t)dt$.

B. $I=2 [\int_{0}^{1}e^{t}dt + \int_{0}^{1}te^{t}dt]$.

C. $I=2\int_{0}^{1}e^{t}(1-t)dt$.

D. $I=\frac{1}{2}[\int_{0}^{1}e^{t}dt+\int_{0}^{1}te^{t}dt]$.

Giải: Đáp án A

Cách 1: Theo tự luận

Đặt $t=\sin ^{2} x \Rightarrow dt=2\sin x \cos x dx$

Đổi cận $x=0 \Rightarrow t=0$, $x=\frac{\pi}{2} \Rightarrow t=1$.

Vậy $I=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}e^{t}(1-t)dt$.

Cách 2: Ta chỉ cần tính tích phân đề bài cho và tích phân đáp án. Nếu trừ nhau bằng 0 thì là đáp án đúng.

Tính $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}e^{\sin ^{2}x}\sin x \cos^{3}xdx$

Tính tích phân ở đáp án A, B, C. Ở đáp án A

Ví dụ 2: Giả sử rằng $I=\int_{-2}^{0}\frac{3x^{2}+5x-1}{x-2}dx =a \ln \frac{2}{3}+b$. Khi đó giá trị của a+2b là

A. 30.

B. 40.

C. 50.

D. 60.

Giải: Đáp án B

Cách 1: Tự làm (chia phân tử cho mẫu số)

Cách 2: Sử dụng máy tính

Trước hết tính tích phân $I=\int_{-2}^{0}\frac{3x^{2}+5x-1}{x-2}dx =a \ln \frac{2}{3}+b$ và gán cho A

Lúc này chỉ việc giải hệ phương trình với a+2b ở các đáp án. Kết quả nào đẹp thì ta lấy đáp án đó

Đáp án A

Đáp án B

Đáp án C

Đáp án D

Ví dụ 3: Giả sử $I=\int_{1}^{5}\frac{1}{x\sqrt{3x+1}}dx=a\ln 3+b \ln 5$. Khi đó giá trị của $a^{2}+ab+4b^{2}$ là

A. 6.

B. 9.

C. 8.

D. 11.

Giải: Đáp án A

Cách 1: Đặt ẩn $t=\sqrt{3x+1}$.

Cách 2: Sử dụng máy tính

Trước hết tính tích phân gán cho A

Do vế phải của tích phân đều biểu diễn dưới dạng ln nên chắc chắn rằng tích phân đó cũng theo ln. Vì thế có $A=\ln x \Leftrightarrow X=e^{A}.$. Tính giá trị của biểu thức $e^{A}$

Vậy $X=\frac{9}{5}$. Do đó $\ln \frac{9}{5}=2 \ln 3 -\ln 5$ hay $a=2, b=-1$.

Ví dụ 4: Giả sử $\int_{0}^{\frac{1}{2}}\sqrt{1-x^{2}}dx=\frac{\sqrt{3}}{a}+\frac{\pi}{b}$ với $a, b \in \mathbb{Z}$. Khi đó giá trị của $\sqrt[3]{a}+2b$ là

A. 26.

B. 28.

C. 24.

D. 20.

Giải: Đáp án D

Áp dụng công thức tính gần đúng giá trị tích phân để dự đoán hệ số $\int_{a}^{b}f(x)dx\approx \frac{b-a}{2}(f(a)+f(b))$ (sử dụng khi $b-a \leq 1$)

Khi đó $\int_{0}^{\frac{1}{2}}\sqrt{1-x^{2}}dx \approx \frac{1}{4}(1+\sqrt{1-\frac{1}{4}})=\frac{\sqrt{3}}{8}+\frac{1}{4}$

Ta chỉ quan tâm tới phần $\sqrt{3}$ vì giả thiết bài toán cho và dự đoán a=8 và đi tìm b.

Tính tích phân và gán cho A

 

Do $A=\frac{\sqrt{3}}{8}+\frac{\pi}{b}$ nên b=12.

Lưu ý: Các bài toán trên mình khuyến khích nên giải tự luận sẽ nhanh hơn trừ một số bài thực sự phức tạp.

Lớp 12 | Để học tốt Lớp 12 | Giải bài tập Lớp 12

Giải bài tập SGK, SBT, VBT và Trắc nghiệm các môn học Lớp 12, dưới đây là mục lục các bài giải bài tập sách giáo khoa và Đề thi chi tiết với câu hỏi bài tập, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và 2 (đề kiểm tra học kì 1 và 2) các môn trong chương trình Lớp 12 giúp bạn học tốt hơn.