Bài 40. Cho HÌnh 32 có $\widehat{BAC}=90^{\circ}$, AH vuông góc với BC tại H, $\widehat{xAB}=\widehat{BAH}$, Ay là tia đối của tia Ax. BD và CE vuông góc với xy lần lượt tại D và E. Chứng minh:
a) AC là tia phân giác góc HAy.
b) BD + CE = BC.
c) DH vuông góc với HE.
Bài Làm:
a) $\widehat{xAy}=\widehat{xAB}+\widehat{BAC}+\widehat{CAy}$ nên $180^{\circ}=\widehat{xAB}+90^{\circ}+\widehat{CAy}$
Ta có: $\widehat{CAy}=90^{\circ}-\widehat{xAB}=90^{\circ}-\widehat{BAH}=\widehat{CAH}$ (1)
Từ (1) suy ra AC là tia phân giác của $\widehat{HAy}$
b) Xét tam giác ADB và AHB ta có:
AB chung
$\widehat{BAD}=\widehat{BAH}$
Suy ra $\Delta ADB=\Delta AHB$ (cạnh huyền - góc nhọn) => BD = BH (2)
Tương tự, ta có CH = CE (3)
Từ (2) và (3), suy ra BC = BH + CH = BD + CE
c) Gọi I là giao điểm của AB và DH.
Xét tam giác ADI và AHI ta có:
AI chung
$\widehat{DAI}=\widehat{HAI}$ (gt)
AD = AH
Suy ra $\Delta ADI =\Delta AHI$ (c.g.c) => $\widehat{AHD}=\widehat{ADH}$
Tương tự, ta có $\widehat{AHE}=\widehat{AEH}$.
Suy ra $\widehat{AHE}=\frac{180^{\circ}-\widehat{HAE}}{2};\widehat{AHD}=\frac{180^{\circ}-\widehat{DAH}}{2}$
Từ đó suy ra $\widehat{DHE}=\widehat{AHD}+\widehat{AHE}=\frac{360^{\circ}-(\widehat{DAH}+\widehat{HAE}}{2}=90^{\circ}$
Vậy $DH \perp HE$
